Иррациональные уравнения

Иррациональные уравнения (Задание 17)

Задание 17 базового ЕГЭ проверяет умение решать простейшие уравнения. Иррациональные - один из частых типов в этом номере наряду с показательными и логарифмическими. Ответ всегда целое число или простая десятичная дробь.

Суть темы

Иррациональное уравнение - это уравнение, в котором неизвестная $x$ стоит под знаком корня (радикала). Например, $\sqrt{x} = 5$ - иррациональное, а $x^2 = 25$ - обычное квадратное (корня нет).

Житейский смысл такого уравнения простой: "найди число, квадрат которого равен заданному". Если квадрат длины равен $25$, то сама длина - $5$. Поэтому если $\sqrt{x} = 5$, то "длина" $x$ получается возведением $5$ в квадрат: $x = 25$.

Главный приём - возведение в квадрат обеих частей. Это законно, если справа стоит неотрицательное число (потому что квадратный корень не бывает отрицательным). В базовом ЕГЭ правая часть - это всегда $0$ или положительное число, так что можно смело возводить.

Основные формулы

В базе встречаются два основных вида иррациональных уравнений.

Алгоритм решения

Проверка ответа

Проверка - не формальность, а защита от ошибок и посторонних корней. Схема простая: подставил корень - получил верное равенство - записал ответ.

Примеры решения

Разберём три задачи, от простой к чуть более хитрой.

Пример 1. Классическое уравнение

Условие: Реши уравнение $\sqrt{2x + 7} = 5$.

Решение:

1. Справа стоит $5$ - положительное число, всё в порядке. Возводим обе части в квадрат:

$$(\sqrt{2x + 7})^2 = 5^2$$

2. Слева корень пропадает, справа $5 \cdot 5 = 25$:

$$2x + 7 = 25$$

3. Переносим $7$ вправо со сменой знака:

$$2x = 25 - 7 = 18$$

$$x = 9$$

4. Проверка: $\sqrt{2 \cdot 9 + 7} = \sqrt{18 + 7} = \sqrt{25} = 5$. Сходится.

Ответ: $9$

Пример 2. Дробь с корнем в знаменателе

Условие: Реши уравнение $\dfrac{1}{\sqrt{x}} = \dfrac{1}{6}$.

Пример 3. Отрицательный ответ

Условие: Реши уравнение $\sqrt{13 - 4x} = 9$.

Частые ошибки

Что запомнить

• Корень убирается возведением обеих частей в квадрат.
• Правило "весов": возводишь слева - возводи и справа ($7$ превращается в $49$, $6$ - в $36$).

• В дробных уравнениях вида $\dfrac{1}{\sqrt{x}} = \dfrac{1}{a}$ приравнивай знаменатели.
• Если справа отрицательное число - решений нет.
• Всегда делай проверку. Подставил $x$ в исходное уравнение - получил верное равенство - записал ответ.

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. Реши уравнение $\sqrt{3x + 4} = 4$. Чему равен $x$?
   • $4$
   • $0$
   • $12$
   • $\dfrac{4}{3}$
2. Сколько корней у уравнения $\sqrt{x - 1} = -2$?
   • Один: $x = 5$
   • Ни одного: корень не бывает отрицательным
   • Один: $x = -3$
3. Реши уравнение $\dfrac{1}{\sqrt{x}} = \dfrac{1}{7}$. Чему равен $x$?
   • $49$
   • $7$
   • $\sqrt{7}$
   • $14$
4. После возведения в квадрат получилось $9 - x = 25$. Чему равен $x$?
   • $-16$
   • $16$
   • $-34$

Проверить