Конус

Конус (Задание 13)

В задании 13 базового ЕГЭ по стереометрии встречаются круглые тела: цилиндр, шар и конус. Конус получается, если вращать прямоугольный треугольник вокруг одного из катетов. Форму конуса имеют рожок для мороженого, бумажный стаканчик, колпак для вечеринки, дорожный конус и кулёк для семечек.

Элементы конуса

У конуса всего три главных измерения, и они связаны между собой. Почти любая задача сводится к поиску одного из них по двум другим.

1. Радиус основания $R$ - радиус круга, который лежит в самом низу.
2. Высота $h$ - кратчайшее расстояние от вершины до центра основания, перпендикулярно основанию.
3. Образующая $l$ - отрезок от вершины до любой точки на окружности основания, "боковой скат" конуса.

Основные формулы

В базовом ЕГЭ нужно уверенно знать три формулы и теорему Пифагора для связи элементов.

Алгоритм решения

Задачи на конус в базе решаются в 3-4 шага по одному и тому же плану.

Примеры решения

Разберём три задачи: простая подстановка в формулу объёма, поиск боковой поверхности с теоремой Пифагора и задача про изготовление бумажного колпака.

Пример 1. Высота бумажного стаканчика

Условие. Бумажный стаканчик для кофе имеет форму конуса. Его объём равен $48\pi$ см³, а радиус верхнего круглого отверстия равен $6$ см. Найди высоту стаканчика в сантиметрах.

Решение.

1. Запишем формулу объёма конуса:

$$V = \dfrac{1}{3} \pi R^2 h$$

2. Подставим $V = 48\pi$ и $R = 6$:

$$48\pi = \dfrac{1}{3} \pi \cdot 6^2 \cdot h$$

3. Возведём радиус в квадрат и умножим на $\dfrac{1}{3}$:

$$48\pi = \dfrac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot h = 12 \pi h$$

4. Разделим обе части на $12\pi$:

$$h = \dfrac{48\pi}{12\pi} = 4$$

Проверка. Подставим $h = 4$ обратно: $V = \dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot 36 \cdot 4 = 48\pi$. Сходится.

Ответ: $4$

Пример 2. Площадь колпака для вечеринки

Условие. На вечеринку готовят праздничный колпак в форме конуса (без донышка). Радиус нижнего отверстия равен $5$ см, высота колпака равна $12$ см. Найди площадь бумаги, которая уйдёт на один колпак, разделённую на $\pi$.

Пример 3. Дорожный конус

Условие. Дорожный конус имеет радиус основания $3$ и образующую $7$. Найди площадь его полной поверхности, разделённую на $\pi$.

Частые ошибки

Что запомнить

• Внутри конуса прячется прямоугольный треугольник: катеты - радиус $R$ и высота $h$, гипотенуза - образующая $l$.

• Объём: $V = \dfrac{1}{3} \pi R^2 h$ (не забудь про $\dfrac{1}{3}$).

• Боковая площадь: $S_{\text{бок}} = \pi R l$ (именно $l$, не $h$).

• Полная площадь: $S_{\text{полн}} = \pi R l + \pi R^2$.

• Связь элементов: $l^2 = R^2 + h^2$.

• Запись "в ответе укажите $S/\pi$" означает, что $\pi$ сократится и в бланк пойдёт обычное число. Пугаться этой записи не нужно.

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. По какой формуле вычисляется объём конуса?
   • $V = \dfrac{1}{3} \pi R^2 h$
   • $V = \pi R^2 h$
   • $V = \dfrac{1}{3} \pi R h^2$
   • $V = \dfrac{4}{3} \pi R^3$
2. Что входит в формулу площади боковой поверхности конуса $S_{\text{бок}} = \pi R l$?
   • Радиус основания и образующая
   • Радиус основания и высота
   • Высота и образующая
   • Диаметр основания и высота
3. У конуса $R = 6$ и $h = 8$. Чему равна образующая $l$?
   • $10$
   • $14$
   • $\sqrt{28}$
   • $100$
4. Объём конуса равен $27\pi$, радиус основания равен $3$. Чему равна высота?
   • $9$
   • $3$
   • $27$
   • $6$

Проверить