Призма

Призма: форма и объём (Задание 11)

Задание 11 в базовом ЕГЭ проверяет умение работать с простыми пространственными фигурами. Один из самых частых героев этого номера - призма: от обычной картонной коробки до правильной шестиугольной призмы, как в карандаше-"шестиграннике".

Суть темы

Призма - это многогранник, у которого два одинаковых основания (сверху и снизу лежат два равных многоугольника, соединённых боковыми гранями). В прямой призме боковые рёбра перпендикулярны основанию - такая призма "стоит ровно".

В задачах ЕГЭ-база чаще всего встречаются три типа прямой призмы:

1. Треугольная - в основании треугольник. Так устроен, например, амбар с двускатной крышей, если смотреть на него с торца.
2. Четырёхугольная правильная - в основании квадрат. Это обычная коробка или аквариум с квадратным дном.
3. Шестиугольная правильная - в основании правильный шестиугольник. Классический пример: карандаш-шестигранник или туннель с шестиугольным сечением.

Основные формулы

Главная формула одна - её нужно знать наизусть. Всё остальное сводится к вычислению площади основания.

Площадь основания зависит от его формы. Для ЕГЭ-базы полезно помнить три случая.

Последнюю формулу легко понять, если разрезать правильный шестиугольник на $6$ равносторонних треугольников с общей вершиной в центре. Сторона каждого такого треугольника равна стороне шестиугольника $a$, а значит:

На базе в чистом виде численный коэффициент $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$ подставлять почти никогда не требуется: задачи обычно строятся так, чтобы корни сократились сами собой или чтобы достаточно было знать "во сколько раз увеличилась сторона".

Алгоритм решения

Примеры решения

Разберём три типовые задачи: треугольная призма с житейским контекстом, переход между двумя разными призмами и сравнение размеров.

Пример 1. Амбар с двускатной крышей

Условие: Чердак амбара имеет форму прямой треугольной призмы: в основании лежит прямоугольный треугольник с катетами $3$ м и $4$ м (это торец крыши), а длина амбара равна $10$ м. Найди объём чердака в кубических метрах.

Решение:

Амбар ориентирован "набок": основания призмы - это два торца крыши, а высота призмы - длина амбара $H = 10$ м.

1. Площадь основания (прямоугольного треугольника):

$$S_{\text{осн}} = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6 \text{ м}^2$$

2. Объём призмы:

$$V = S_{\text{осн}} \cdot H = 6 \cdot 10 = 60$$

Ответ: $60$

Пример 2. Два карандаша-шестигранника

Условие: Карандаш имеет форму правильной шестиугольной призмы. Второй карандаш - тоже правильная шестиугольная призма, но сторона его основания в $3$ раза больше, а длина в $2$ раза меньше. Во сколько раз объём второго карандаша больше объёма первого?

Пример 3. Сечение туннеля

Условие: Туннель имеет форму прямой призмы: сечение (торец) - правильный шестиугольник со стороной $2$ м. Длина первого участка туннеля $50$ м. Рядом строят второй туннель такой же длины, но сторону шестиугольника в сечении увеличили в $3$ раза. Во сколько раз объём второго туннеля больше объёма первого?

Частые ошибки

Что запомнить

1. Главная формула: $V = S_{\text{осн}} \cdot H$ для любой прямой призмы.
2. Площади оснований: квадрат $a^2$, прямоугольный треугольник $\dfrac{1}{2}ab$, правильный шестиугольник $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2$ (шестиугольник = $6$ равносторонних треугольников).
3. Правило степеней: при увеличении линейного размера основания в $k$ раз площадь растёт в $k^2$ раз, объём - в $k^2 \cdot m$ раз (где $m$ - коэффициент изменения высоты).
4. При переливании жидкости её объём не меняется - меняется только уровень.
5. Метод придуманных чисел ($a=1$, $H=1$) экономит время в задачах на сравнение "во сколько раз".

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. По какой формуле находится объём прямой призмы?
   • $V = S_{\text{осн}} \cdot H$
   • $V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot H$
   • $V = S_{\text{осн}} + H$
   • $V = 2 S_{\text{осн}} \cdot H$
2. Сторону основания правильной шестиугольной призмы увеличили в $3$ раза, высоту не меняли. Во сколько раз вырос объём?
   • В $3$ раза
   • В $9$ раз
   • В $27$ раз
   • В $6$ раз
3. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами $3$ и $4$, высота призмы $10$. Чему равен объём?
   • $60$
   • $120$
   • $50$
   • $30$
4. У второй призмы сторона основания в $3$ раза больше, а высота в $2$ раза меньше, чем у первой (основания подобны). Во сколько раз объём второй призмы больше?
   • В $1{,}5$ раза
   • В $4{,}5$ раза
   • В $6$ раз
   • В $9$ раз

Проверить