В задании 16 ЕГЭ-база проверяется умение работать со степенями, логарифмами, тригонометрией и корнями. В этом конспекте разберём иррациональные выражения - те, в которых встречаются квадратные корни.
Несмотря на название, такие задачи почти всегда решаются в одно-два действия. Главное - знать четыре свойства корней и уметь замечать формулу разности квадратов.
Суть темы
Цель любой такой задачи - избавиться от знака корня и получить целое число или простую десятичную дробь. Составители экзамена не требуют вычислять 11 на черновике столбиком. Вместо этого они подбирают числа так, чтобы сработало одно из свойств корня или формула сокращённого умножения.
Типичные сюжеты в этом номере:
умножение или деление корней: 12⋅3, 348;
вынесение множителя из-под корня: 50=52;
умножение двух скобок "разность на сумму" (разность квадратов);
возведение корня с коэффициентом в квадрат: (23)2=12.
Основные формулы
Тебе понадобятся четыре базовых свойства квадратного корня и одна формула сокращённого умножения.
Эти равенства работают в обе стороны. Слева направо - чтобы разбить большой корень на множители (например, 72=36⋅2=62). Справа налево - чтобы перемножить корни и увидеть, что из произведения извлекается целое (2⋅8=16=4).
Эти два равенства фактически говорят одно и то же: корень и квадрат "уничтожают" друг друга. А ещё из них следует правило, которое чаще всего нужно в номере 16:
Например, (23)2=4⋅3=12, а (52)2=25⋅2=50.
Последняя формула - уже знакомая тебе из алгебры формула сокращённого умножения. Она превращает произведение двух скобок в простую разность.
Порядок слагаемых в итоговой разности всегда диктует скобка с минусом: что стояло в ней первым, то и возводится в квадрат первым.
Алгоритм решения
Встретив выражение с корнями, действуй так:
Примеры решения
Разберём три задачи: от самой простой до типичной экзаменационной.
Пример 1. Произведение корней
Условие:
Найди значение выражения 20⋅45.
Решение:
Объединяем корни по правилу a⋅b=a⋅b:
20⋅45=20⋅45
Считаем произведение под корнем:
20⋅45=900
Извлекаем корень из полной степени:
900=30
Ответ:30
В следующем примере уже встречается классическая разность квадратов - самая частая форма задачи в номере 16.
Пример 2. Разность квадратов с целым числом
Условие:
Найди значение выражения (23−3)(23+3).
Применяем разность квадратов
Перед нами формула (a−b)(a+b)=a2−b2. В роли a выступает 23, в роли b - число 3. Ориентируемся на скобку с минусом:
(23)2−32
Возводим в квадрат каждое слагаемое
Квадрат корня даёт подкоренное число:
(23)2=23
Квадрат тройки считается как обычно:
32=9
Выполняем вычитание
23−9=14
Ответ:14
А теперь - самый "коварный" вариант, в котором перед корнем стоит множитель. Здесь нужно аккуратно возвести в квадрат всё выражение целиком.
Пример 3. Разность квадратов с коэффициентом
Условие:
Найди значение выражения (26−5)(26+5).
Применяем разность квадратов
(26)2−(5)2
Возводим в квадрат корень с коэффициентом
Первое слагаемое - корень с коэффициентом. Возводим в квадрат и коэффициент, и корень:
(26)2=22⋅(6)2=4⋅6=24
Второе слагаемое - обычный корень:
(5)2=5
Считаем разность
24−5=19
Ответ:19
Частые ошибки
В этой теме школьники редко промахиваются в идее - чаще всего ошибки чисто вычислительные.
Что запомнить
Корень из произведения = произведение корней, то же для частного. Но не для суммы: a+b=a+b.
Корень в квадрате равен подкоренному числу:(17)2=17.
Корень с коэффициентом возводится в квадрат по частям:(ca)2=c2⋅a.
Две скобки с одинаковыми слагаемыми и разными знаками - это разность квадратов. Ориентируйся на скобку с минусом.
В ответе должно получиться целое число или простая десятичная дробь. Если остался корень - где-то допущена ошибка.
