Пирамида

Пирамида (Задание 11)

В задании 11 базового ЕГЭ пирамида встречается в двух видах сюжетов: нужно найти объём тела пирамидальной формы (шатёр, палатка, обелиск, постамент) или площадь боковой поверхности (покрасить крышу, сшить тент). Отдельно попадается сюжет на масштабирование - точная музейная копия или макет. Разберём всё по порядку.

Суть темы

Пирамида - это многогранник, у которого одна грань (основание) - многоугольник, а остальные грани (боковые) - треугольники с общей вершиной. Эта вершина называется вершиной пирамиды.

Правильная пирамида - пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник (чаще всего квадрат или равносторонний треугольник), а вершина проецируется в центр основания. У правильной пирамиды все боковые рёбра равны, а все боковые грани - равные равнобедренные треугольники.

У правильной пирамиды есть две разные "высоты", которые легко перепутать:

• высота пирамиды $H$ - отрезок от вершины перпендикулярно основанию (из $S$ в центр $O$);

• апофема $a$ - высота боковой грани, опущенная из вершины $S$ на середину стороны основания.

Основные формулы

В базовом ЕГЭ для пирамиды нужны две формулы и пропорция для подобия.

Алгоритм решения

Примеры решения

Разберём три задачи: на объём, на боковую поверхность и на масштабирование.

Пример 1. Объём шатра

Условие: Шатёр имеет форму правильной четырёхугольной пирамиды. Сторона основания равна $6$ м, а высота - $5$ м. Найди объём шатра в кубических метрах.

Решение:

1. Площадь основания - квадрат со стороной $6$:

$$S_{\text{осн}} = 6^2 = 36 \text{ м}^2$$

2. Применим формулу объёма пирамиды:

$$V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot H = \dfrac{1}{3} \cdot 36 \cdot 5 = 60 \text{ м}^3$$

Ответ: $60$

Пример 2. Боковая поверхность постамента

Условие: Постамент под памятник имеет форму правильной четырёхугольной пирамиды. Сторона основания равна $8$ дм, а апофема - $10$ дм. Найди площадь боковой поверхности постамента в квадратных дециметрах.

Пример 3. Макет обелиска

Условие: Обелиск имеет форму правильной четырёхугольной пирамиды. Сторона его основания равна $4$ м, а высота - $9$ м. Архитекторы сделали точный макет обелиска. Сторона основания макета равна $8$ см. Найди высоту макета. Ответ дай в сантиметрах.

Частые ошибки

Что запомнить

• Объём пирамиды: $V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} H$. Множитель $\dfrac{1}{3}$ - главное отличие от призмы.

• Площадь боковой поверхности правильной пирамиды: $S_{\text{бок}} = \dfrac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot a$, где $a$ - апофема.

• Высота пирамиды $H$ и апофема $a$ - разные отрезки, не путай их.

• Для задач на макет или копию: линейные размеры оригинала и модели относятся как коэффициент подобия $k$.

• Сначала переводи единицы к одной системе, потом подставляй в формулу.

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. По какой формуле считают объём пирамиды?
   • $V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot H$
   • $V = S_{\text{осн}} \cdot H$
   • $V = \dfrac{1}{2} S_{\text{осн}} \cdot H$
   • $V = \dfrac{1}{3} P_{\text{осн}} \cdot H$
2. Что подставляют в формулу боковой поверхности $S_{\text{бок}} = \dfrac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot a$ вместо $a$?
   • апофему - высоту боковой грани
   • высоту пирамиды $H$
   • боковое ребро пирамиды
   • сторону основания
3. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна $3$ м, высота - $4$ м. Чему равен объём?
   • $12$ м$^3$
   • $36$ м$^3$
   • $16$ м$^3$
   • $9$ м$^3$
4. Высота обелиска $6$ м, у точного макета все размеры в $30$ раз меньше. Какова высота макета?
   • $20$ см
   • $2$ см
   • $180$ см
   • $5$ см

Проверить