Задание 20: Текстовые задачи

Содержание

О задании 20: Текстовые задачи
Какие темы встречаются
Базовые формулы по подтемам
Общий алгоритм решения
Примеры решения
Частые ошибки
Стратегия на экзамене

О задании 20: Текстовые задачи

Задание 20 базового ЕГЭ - это классическая текстовая задача. Здесь нет сложных преобразований графиков или стереометрии, зато нужно перевести жизненную ситуацию с русским текстом на язык математики (составить уравнение) и решить его.

Это предпоследнее задание в варианте, и оно требует сосредоточенности. Ответ всегда получается "красивым": целым числом или конечной десятичной дробью.

Какие темы встречаются

В банке ФИПИ для этого номера собраны задачи нескольких типов. Вот они в порядке убывания частоты:

Задачи на прогрессии и числа (~35%). Не пугайся слова "прогрессия". Чаще всего это задачи-головоломки на подсчёт очков в викторине, чтение страниц в книге или зарплату за несколько дней.
Движение по прямой (~31%). Классика: два автомобиля едут навстречу друг другу или один догоняет другого. Сюда же относятся задачи на среднюю скорость.

Совместная работа (~16%). Мастера красят стены, трубы наполняют бассейн. Решаются точно так же, как задачи на движение.
Проценты, сплавы и смеси (~15%). Смешивание растворов разной концентрации или сплавление металлов.
Движение по воде (~3%). Задачи с учётом скорости течения реки (катер плывёт по течению и против него).

Базовые формулы по подтемам

Запомни три опорные формулы - они закрывают почти все сюжеты задания 20.

Общий алгоритм решения

Большинство задач 20-го номера (кроме логических задач на очки) идеально решаются табличным методом: структурируй условие в таблицу "кто / что известно / что выразить".

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения через таблицу

Прочитай вопрос. То, что спрашивают, чаще всего удобно обозначить за $x$ .
Нарисуй таблицу. Для движения: $v$ (скорость), $t$ (время), $S$ (путь). Для работы: $p$ (производительность), $t$ (время), $A$ (объём работы). Для смесей: масса раствора, процент, масса вещества.
Заполни два столбца. Впиши числа из условия и переменную $x$ .
Вырази третий столбец. Используй соответствующую формулу (например, $t = \dfrac{S}{v}$ или $m_{\text{вещ}} = m_{\text{раств}} \cdot \dfrac{p}{100}$ ).
Составь уравнение. В условии всегда есть "зацепка": кто-то приехал на 2 часа раньше, общее время составило 5 часов, итоговая концентрация равна $30\%$ . Используй выраженный столбец, чтобы составить равенство.
Реши и сделай проверку. Подставь найденный $x$ обратно в условие и проверь, сходится ли "житейская" логика.

Примеры решения

Разберём два разных сюжета: совместную работу и задачу на сплавы. Оба решим по одной схеме: таблица, уравнение, проверка.

Пример 1. Совместная работа

Условие: Первый насос наполняет бассейн за $20$ часов, второй - за $30$ часов. За сколько часов бассейн наполнится, если оба насоса включить одновременно?

Решение:

Обозначим объём бассейна за $1$ (одну "единицу работы"). Тогда производительности насосов - это доля бассейна в час.

Насос	Время в одиночку	Производительность $p$	За время $t$ вместе наполнит
Первый	$20$ ч	$\dfrac{1}{20}$	$\dfrac{t}{20}$
Второй	$30$ ч	$\dfrac{1}{30}$	$\dfrac{t}{30}$

За $t$ часов оба насоса вместе наполняют весь бассейн:

\dfrac{t}{20} + \dfrac{t}{30} = 1

Общий знаменатель - $60$ :

\dfrac{3t}{60} + \dfrac{2t}{60} = 1 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{5t}{60} = 1

Отсюда:

t = \dfrac{60}{5} = 12

Проверка: за $12$ ч первый наполнит $\dfrac{12}{20} = 0{,}6$ бассейна, второй - $\dfrac{12}{30} = 0{,}4$ . В сумме $1$ . Сходится.

Ответ: $12$

Пример 2. Сплавы и проценты

Условие: Имеется два сплава меди. Первый содержит $10\%$ меди, второй - $40\%$ меди. Сплавили $4$ кг первого и $6$ кг второго. Какой процент меди в получившемся сплаве?

Составляем таблицу

Удобно структурировать условие в таблицу: нас интересует масса чистой меди в каждом куске и суммарная масса сплава.

Сплав	Масса сплава	Процент меди	Масса меди
Первый	$4$ кг	$10\%$	$4 \cdot 0{,}1 = 0{,}4$ кг
Второй	$6$ кг	$40\%$	$6 \cdot 0{,}4 = 2{,}4$ кг
Итог	$10$ кг	$x\%$	$0{,}4 + 2{,}4 = 2{,}8$ кг

Считаем массу меди и массу сплава

Масса меди в итоговом сплаве - сумма масс меди в двух кусках:

m_{\text{медь}} = 0{,}4 + 2{,}4 = 2{,}8 \text{ кг}

Общая масса сплава:

4 + 6 = 10 \text{ кг}

Находим процент меди

x = \dfrac{2{,}8}{10} \cdot 100 = 28

Проверяем здравым смыслом

Смешиваем $10\%$ и $40\%$ , доля второго побольше ( $6$ из $10$ ), значит итог должен быть ближе к $40\%$ , но не выше. $28\%$ - подходит.

Ответ: $28$

Частые ошибки

Стратегия на экзамене

СОВЕТ

Стратегия

Ориентировочное время: 15 минут. Это одна из самых "долгих" задач в варианте.
Приоритет: Не зависай на ней в начале. Сначала реши быстрые задания (1-18), обеспечь себе базовые баллы, а текстовую задачу оставь на десерт вместе с заданиями 19 и 21.
Проверка здравым смыслом: Это твой лучший друг в задании 20. Пешеход идёт со скоростью $3-5$ км/ч, велосипедист едет $12-20$ км/ч, машина - $60-100$ км/ч. Если мастер выполняет заказ за отрицательное время или скорость течения больше скорости катера - ищи ошибку в знаках уравнения.
Рисуй схемы: Для задач на движение и сплавы рисунки работают лучше любого текста.

Проверь себя

Первая труба наполняет бассейн за $6$ часов, вторая — за $3$ часа. За сколько часов они наполнят бассейн вместе?
Скорость катера в стоячей воде $12$ км/ч, скорость течения $3$ км/ч. С какой скоростью катер плывёт против течения?
Смешали $2$ кг $10\%$ -го раствора и $3$ кг $20\%$ -го раствора. Сколько чистого вещества в смеси?
В задаче время задержки дано как $45$ минут, а скорости — в км/ч. Какое число нужно подставить в уравнение?