Теоремы о вероятностях событий

Теоремы о вероятностях событий (Задание 5)

В задании 5 базового ЕГЭ по математике чаще всего встречается классическое определение вероятности (где нужно делить "подходящие" исходы на "все"). Но иногда попадаются задачи, где вероятности уже даны, и с ними нужно произвести математические действия. Это задачи на теоремы о вероятностях событий.

Здесь не нужно ничего считать с нуля, достаточно понимать, как события связаны между собой в реальной жизни: происходят они одновременно, исключают друг друга или дополняют.

Суть темы

Вероятность любого события - это всегда число от $0$ до $1$.

• $0$ - событие никогда не произойдёт (невозможное).

• $1$ - событие произойдёт со стопроцентной гарантией (достоверное).

Чтобы решать задачи, нужно уметь переводить русские слова-связки на язык математики.

1. Слово «НЕ» (противоположное событие). Если событие $A$ - «пойдёт дождь», то противоположное ему событие $\bar{A}$ - «дождь НЕ пойдёт». Вместе они охватывают все возможные варианты.
2. Слово «ИЛИ» (объединение событий). Нас устраивает, если произошло $A$, или $B$, или оба сразу. В задачах базового ЕГЭ обычно события несовместны (например, при одном броске кубика выпадет «двойка» ИЛИ «пятёрка»), и тогда вероятности просто складываются.
3. Слово «И» (пересечение событий). Произошли оба события сразу. Если они независимы (исход одного не влияет на другой), вероятности перемножаются. Например, одна лампочка перегорит И вторая лампочка перегорит.

Основные формулы

Каждому слову-связке соответствует своё математическое действие.

Алгоритм решения

В таких задачах текст напрямую диктует решение.

Примеры решения

Разберём три задачи: от элементарного вычитания до комбинации правил.

Пример 1. Противоположное событие

Условие: По прогнозу синоптиков вероятность того, что в ближайшее воскресенье пойдёт дождь, равна $0{,}25$. Найди вероятность того, что в воскресенье дождя не будет.

Решение: В этой задаче есть ровно два исхода: дождь пойдёт или дождь не пойдёт. Третьего не дано - это противоположные события.

1. Обозначим $A$ - "пойдёт дождь", $P(A) = 0{,}25$.
2. Нужно найти $P(\bar{A})$ - "дождя не будет".
3. По формуле противоположных событий:

$$P(\bar{A}) = 1 - 0{,}25 = 0{,}75$$

Проверка: сумма $0{,}25 + 0{,}75 = 1$ - всё сходится, других вариантов нет.

Ответ: $0{,}75$

Пример 2. Правило "ИЛИ" для несовместных

Условие: Стрелок делает один выстрел по мишени. Вероятность попасть точно в центр равна $0{,}1$, вероятность попасть во внутреннее кольцо вокруг центра равна $0{,}4$. Попасть одновременно и в центр, и в кольцо невозможно. Найди вероятность того, что стрелок попадёт в центр или во внутреннее кольцо.

Пример 3. Комбинация правил "НЕ" и "И"

Условие: На заводе две независимые друг от друга линии выпускают одинаковые детали. Вероятность того, что на первой линии за смену произойдёт сбой, равна $0{,}1$. Такая же вероятность сбоя на второй линии - $0{,}1$. Линии работают независимо. Найди вероятность того, что за смену обе линии отработают без сбоев.

Частые ошибки

Что запомнить

• Вероятность всегда $0 \leqslant P \leqslant 1$. Получилось больше единицы - ищи ошибку.

• Противоположные события: $P(\bar A) = 1 - P(A)$. Это самый частый сюжет базового ЕГЭ в этой теме.

• Связка «ИЛИ» для несовместных $\implies$ знак $+$ (сложение).

• Связка «И» для независимых $\implies$ знак $\cdot$ (умножение).

• Проверяй ответ: если сложение дало число больше $1$ - скорее всего, события совместны и нужна общая формула со знаком $-$.

• При сложении и вычитании десятичных дробей запятая пишется под запятой: $1{,}00 - 0{,}25 = 0{,}75$.

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна $0{,}06$. Какова вероятность купить исправную батарейку?
   • $0{,}94$
   • $0{,}06$
   • $99{,}94$
   • $0{,}4$
2. События $A$ и $B$ несовместны, $P(A) = 0{,}3$, $P(B) = 0{,}2$. Чему равна вероятность того, что произойдёт $A$ или $B$?
   • $0{,}5$
   • $0{,}06$
   • $0{,}1$
   • $0{,}6$
3. Две лампочки перегорают независимо друг от друга, каждая с вероятностью $0{,}2$. Какова вероятность того, что перегорят обе?
   • $0{,}04$
   • $0{,}4$
   • $0{,}2$
   • $0{,}64$
4. Какое из чисел НЕ может быть вероятностью события?
   • $1{,}8$
   • $0$
   • $1$
   • $0{,}5$

Проверить