Многоугольники

Многоугольники (Задание 12)

Многоугольники в задании 12 - это паркет на полу, плитка на дорожке, клумба из шестигранных камней, ключ под шестигранную гайку или огородная грядка с вершинами в узлах сетки. Банк задач делит эту тему на три крупных сюжета: углы в правильных многоугольниках, площади через разбиение на треугольники и площадь на клетчатой бумаге через формулу Пика.

Суть темы

Многоугольник - плоская фигура, границей которой служит замкнутая ломаная без самопересечений. Отрезки называют сторонами, точки излома - вершинами. Количество сторон (и вершин) обозначают буквой $n$.

В базе отдельное место занимает правильный многоугольник - у него все стороны равны и все углы равны. Такой многоугольник всегда можно вписать в окружность (радиус $R$) и в него же можно вписать окружность (радиус $r$). Соединив вершины с центром, получаем $n$ одинаковых равнобедренных треугольников, похожих на куски пиццы.

Основные формулы

Для задания 12 на базе нужны три группы формул: углы, площади и формула Пика.

Алгоритм решения

Примеры решения

Три задачи от простой к сложной: угол, площадь через разбиение и формула Пика.

Пример 1. Беседка в парке

Условие: В парке строят беседку с полом в форме правильного восьмиугольника. Найди величину одного внутреннего угла такого пола. Ответ дай в градусах.

Решение:

Нам дан правильный $n$-угольник с $n = 8$.

1. Сумма всех внутренних углов:

$$\Sigma = 180^\circ \cdot (8 - 2) = 180^\circ \cdot 6 = 1080^\circ$$

2. Все $8$ углов равны, поэтому один из них:

$$\beta = \dfrac{1080^\circ}{8} = 135^\circ$$

Ответ: $135$

Пример 2. Клумба из шести треугольников

Условие: Клумба имеет форму правильного шестиугольника со стороной $3$ м. Её разбили на $6$ одинаковых равносторонних треугольников линиями от центра к вершинам. Известно, что площадь одного равностороннего треугольника со стороной $3$ м равна $\dfrac{9\sqrt{3}}{4}$ м². Найди площадь всей клумбы. Ответ дай в квадратных метрах, при необходимости округли до десятых. В ответе прими $\sqrt{3} \approx 1{,}73$.

Пример 3. Огород по клеточкам

Условие: На клетчатой бумаге со стороной клетки $1$ м изображён огород в форме многоугольника. Все вершины - в узлах сетки. Внутри многоугольника насчитали $14$ узлов, а на его границе (включая вершины) - $10$ узлов. Найди площадь огорода в квадратных метрах.

Частые ошибки

Что запомнить

• Сумма внутренних углов: $180^\circ (n - 2)$. В правильном - делим на $n$.

• Центральный угол: $\dfrac{360^\circ}{n}$. Внутренний и центральный дают в сумме $180^\circ$.

• Правильный $n$-угольник разбивается на $n$ одинаковых треугольников из центра. Площадь целого - в $n$ раз больше одного.

• Для фигуры в узлах сетки: $S = \text{В} + \dfrac{\text{Г}}{2} - 1$. Граничные узлы учитываются все, не только вершины.

• В базе ответ всегда целый или простая десятичная дробь. Некрасивая дробь в ответе - сигнал вернуться и перепроверить.

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. Чему равна сумма внутренних углов выпуклого шестиугольника?
   • $720^\circ$
   • $1080^\circ$
   • $540^\circ$
   • $360^\circ$
2. Чему равен центральный угол правильного двенадцатиугольника?
   • $30^\circ$
   • $150^\circ$
   • $36^\circ$
   • $32{,}7^\circ$
3. Внутри многоугольника с вершинами в узлах сетки 7 узлов, на границе 8 узлов. Какова его площадь по формуле Пика?
   • $10$
   • $11$
   • $14$
   • $12$
4. Правильный шестиугольник разбит отрезками из центра к вершинам. Сколько получилось треугольников и какие они?
   • $6$ равносторонних
   • $6$ прямоугольных
   • $5$ равносторонних
   • $12$ равнобедренных

Проверить