Призма

Призма (Задание 13)

В задании 13 базового ЕГЭ проверяется умение работать с объёмными фигурами (стереометрией). Одним из частых гостей этого номера является призма. Задача обычно сводится к применению одной-двух формул и требует аккуратного счёта.

Суть темы

Призма - это многогранник, у которого два одинаковых основания лежат в параллельных плоскостях, а боковые грани соединяют эти основания. Если тебе трудно представить призму в голове, возьми обычную коробку от торта или упаковку шоколадных конфет "Тоблерон" - это готовые примеры прямых призм.

В базовом ЕГЭ почти всегда встречаются прямые призмы. Это значит, что боковые рёбра стоят перпендикулярно основаниям (как колонны у здания). Боковые грани у прямой призмы - это прямоугольники.

В зависимости от того, какая фигура лежит в основании, призма получает своё название:

• В основании треугольник $\implies$ треугольная призма.

• В основании четырёхугольник $\implies$ четырёхугольная призма (например, коробка от торта).

• В основании правильный шестиугольник $\implies$ правильная шестиугольная призма (форма аквариума-шестигранника или гайки).

Основные формулы

Главное, что нужно знать про призму в рамках базового ЕГЭ - это как найти её объём и площадь поверхности.

Часто сложность задачи заключается не в самой формуле объёма, а в поиске площади основания. В банке заданий ЕГЭ-база чаще всего в основании лежат два типа треугольников. Запомни формулы для их площадей:

Если в задаче просят найти площадь боковой поверхности (сумму площадей всех "стенок"), используй периметр основания:

А если нужна полная поверхность (оба основания плюс все боковые грани), добавь к боковой поверхности два основания:

Диагональное сечение

Иногда в задаче встречается диагональное сечение призмы. Для правильной четырёхугольной призмы (в основании квадрат) это прямоугольник, который получается, если разрезать призму плоскостью через два противоположных боковых ребра.

Стороны этого прямоугольника - диагональ основания и высота призмы. Чтобы найти его площадь, достаточно перемножить эти две длины. Для квадрата со стороной $a$ диагональ равна $a\sqrt{2}$.

Алгоритм решения

Примеры решения

Разберём задачи от самой базовой к чуть более хитрым.

Пример 1. Призма с прямоугольным треугольником

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, катеты которого равны $6$ и $8$. Найди объём призмы, если её высота равна $5$.

Решение:

1. В основании лежит прямоугольный треугольник. Найдём его площадь. Катеты $a = 6$ и $b = 8$.

$$S_{\text{осн}} = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$$

2. Высота призмы $h = 5$. Найдём объём:

$$V = S_{\text{осн}} \cdot h = 24 \cdot 5 = 120$$

Ответ: $120$

Во втором примере разберём ситуацию с корнями. В базовом ЕГЭ ответы всегда записываются в виде целого числа или десятичной дроби, поэтому корни в процессе решения должны исчезнуть.

Пример 2. Правильная треугольная призма

Сторона основания правильной треугольной призмы равна $4$, а высота этой призмы равна $2\sqrt{3}$. Найди объём призмы.

Иногда составители экзамена проверяют не объём, а знание площади поверхности.

Пример 3. Боковая поверхность

В основании прямой треугольной призмы лежит треугольник со сторонами $3$, $4$ и $5$. Высота призмы равна $10$. Найди площадь боковой поверхности этой призмы.

В следующей задаче соединим сразу две формулы: посчитаем полную поверхность подарочной коробки от торта.

Пример 4. Полная поверхность коробки

Коробка от торта имеет форму прямоугольного параллелепипеда (это тоже прямая призма) с квадратным основанием со стороной $20$ см и высотой $10$ см. Сколько квадратных сантиметров картона пошло на её изготовление, если склейки не учитывать?

Частые ошибки

Что запомнить

• Призма - фигура с двумя одинаковыми основаниями.

• Объём: умножай площадь основания на высоту ($V = S_{\text{осн}} \cdot H$).

• Площадь прямоугольного треугольника: половина произведения катетов.

• Площадь правильного треугольника: $\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

• Боковая поверхность: периметр основания умножить на высоту ($S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot H$).

• Полная поверхность: два основания плюс боковая ($S_{\text{полн}} = 2 S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}$).

• Диагональ квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$ - пригодится для диагональных сечений.

• Если в задаче есть корни, не пугайся: при перемножении площадей и высот корень вида $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}$ даст целое число $3$.

Проверь себя

1. Как найти объём прямой призмы?
   • $V = S_{\text{осн}} \cdot h$
   • $V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h$
   • $V = P_{\text{осн}} \cdot h$
2. Площадь прямоугольного треугольника с катетами $6$ и $8$ равна:
   • $48$
   • $24$
   • $14$
3. В основании прямой призмы треугольник со сторонами $3$, $4$ и $5$, высота призмы $10$. Чему равна площадь боковой поверхности?
   • $120$
   • $60$
   • $600$
4. Чему равна диагональ квадрата со стороной $a$?
   • $2a$
   • $a\sqrt{2}$
   • $a\sqrt{3}$

Проверить