Задание 21: Задачи на смекалку

Задачи на смекалку (Задание 21)

Двадцать первое задание - финальный номер базового ЕГЭ. Но бояться его не стоит: здесь не проверяют знание сложных теорем или олимпиадных формул. Это задание оценивает логику, здравый смысл и умение перевести запутанный текст в простую картинку, схему или короткий перебор. Ответ - целое число или конечная десятичная дробь, как и в остальных номерах базы.

Какие темы встречаются

Условия задания очень разные, но все они сводятся к трём большим подтемам. В банке ФИПИ распределение такое:

• Задачи о числах (около 84%): расположение объектов на кольцевой дороге, поиск неизвестного расстояния, делимость, свойства цифр, числовые закономерности. Сюда же относятся задачи про кольцевые маршруты с заправками или городами.
• Текстовые задачи (около 9%): распилы реек и брёвен, разрезание ленточек по цветным линиям, задачи про количество кусков и разрезов.
• Планиметрия (около 7%): расположение отметок на ленте относительно середины, лабиринты, задачи про этажи и переходы, прямоугольники с данными о частях.

Обрати внимание: "планиметрия" в этом номере - не геометрические формулы, а логика расположения объектов на прямой или плоскости. Теоремы синусов и площадей тебе здесь не понадобятся.

Общий подход

Поскольку подтемы очень разные, единой формулы не существует. Но есть три универсальных приёма, которые работают почти всегда.

Примеры решения

Разберём две задачи из разных подтем: числовая задача на перебор и текстовая задача на распилы.

Пример 1. Задача о числах - перебор

Условие: Найди наименьшее трёхзначное натуральное число, которое одновременно удовлетворяет четырём условиям:

1. сумма его цифр равна $12$;
2. число кратно $7$;
3. при делении на $5$ даёт остаток $3$;
4. последняя цифра нечётная.

Решение:

1. Последняя цифра даёт остаток $3$ при делении на $5$ и при этом нечётная. Цифры $0,\, 1, \dots, 9$ при делении на $5$ дают остатки $0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4$. Остаток $3$ дают цифры $3$ и $8$. Из них нечётная только $3$. Значит, число заканчивается на $3$.

2. Число кратно $7$ и оканчивается на $3$. Трёхзначные кратные семи начинаются с $105, 112, 119, 126, 133, \dots$. Отбираем те, что оканчиваются на $3$: $133,\, 203,\, 273,\, 343, \dots$.

3. Проверяем сумму цифр $= 12$:

$$133: \; 1+3+3 = 7 \; \text{(нет)}$$

$$203: \; 2+0+3 = 5 \; \text{(нет)}$$

$$273: \; 2+7+3 = 12 \; \text{(да)}$$

4. Первое число подходит. Так как мы шли от меньшего к большему, это и есть наименьшее.

Ответ: $273$

Пример 2. Текстовая задача - распилы по цветам

Условие: На длинной рейке нанесены поперечные линии трёх цветов: синие, красные и жёлтые. Если распилить рейку только по синим линиям, получится $9$ кусков. Если только по красным - $11$ кусков. Если только по жёлтым - $6$ кусков. Сколько кусков получится, если распилить рейку по линиям всех трёх цветов сразу? Считается, что линии разных цветов не совпадают между собой.

Частые ошибки

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. Рейку распилили $12$ разрезами. Сколько получилось кусков?
   • $13$
   • $12$
   • $11$
   • $24$
2. Если пилить ленту только по синим линиям, выйдет $5$ кусков, только по красным — $8$ кусков. Сколько кусков получится, если пилить по всем линиям сразу (линии не совпадают)?
   • $12$
   • $13$
   • $11$
   • $40$
3. В задаче просят найти наименьшее число, удовлетворяющее нескольким условиям. С какого условия выгоднее начинать перебор?
   • С самого «жёсткого» — которое сильнее всего сужает список кандидатов
   • С первого по порядку в условии
   • С самого простого для проверки
   • Порядок не влияет на объём перебора
4. Что стоит сделать в первую очередь при решении задания $21$?
   • Нарисовать крупную схему и перенести на неё все числа из условия
   • Вспомнить подходящую теорему из планиметрии
   • Решить задачу в уме, чтобы сэкономить время
   • Сразу записать ответ наугад

Проверить