Преобразования числовых логарифмических выражений

Применяем формулу суммы логарифмов

По отдельности ни $\log_6 12$, ни $\log_6 3$ не вычисляются в целых числах. Но у них одинаковое основание $6$, и между ними стоит знак плюс. Сумма логарифмов равна логарифму произведения:

Умножаем числа внутри логарифма

Получаем: $\log_6 36$.

Вычисляем результат

В какую степень нужно возвести $6$, чтобы получить $36$? Во вторую.

Ответ: $2$

Применяем формулу разности логарифмов

Снова одинаковые основания, но теперь знак минус. Разность логарифмов равна логарифму частного (деления):

Выполняем деление

Чтобы избавиться от запятых, мысленно умножим числитель и знаменатель на $10$:

Делим $405$ на $15$. Можно сократить на $5$: $\dfrac{81}{3} = 27$. Получаем: $\log_3 27$.

Вычисляем логарифм

В какую степень нужно возвести $3$, чтобы получить $27$?

Значит, результат равен $3$.

Ответ: $3$

Оцениваем ситуацию

Хочется сразу применить основное логарифмическое тождество ($a^{\log_a b} = b$), потому что основание степени ($2$) и основание логарифма ($2$) совпадают.

Но будь осторожен: мешает четвёрка перед логарифмом. Тождество работает только тогда, когда перед логарифмом нет никаких чисел (кроме невидимой $1$).

Заносим множитель внутрь логарифма

Избавимся от четвёрки. По свойству логарифмов множитель перед логарифмом можно занести внутрь как степень аргумента:

Теперь выражение выглядит так:

Применяем основное тождество

Двойки «уходят», остаётся только $81$.

Ответ: $81$

Выносим степень основания

Основание необычное - корень. Но $\sqrt{5} = 5^{1/2}$, а $125 = 5^3$. Значит, и основание, и аргумент - степени пятёрки. Используем свойство о степени в основании:

У нас $n = \dfrac{1}{2}$, поэтому $\dfrac{1}{n} = 2$:

Вычисляем логарифм

Находим $\log_5 125$. В какую степень нужно возвести $5$, чтобы получить $125$? В третью: $5^3 = 125$.

Считаем итог

Итог: $2 \cdot 3 = 6$.

Ответ: $6$