Планиметрия

Планиметрия в задании 21

В задании 21 ЕГЭ-база иногда встречаются планиметрические задачи: треугольник с заданной высотой, трапеция-участок, флаг треугольной формы, плитка на полу. Здесь не нужны тяжёлые теоремы -- хватает трёх формул и внимательного чертежа. В этом конспекте разберём ключевые формулы, построение дополнительных линий и типовые сюжеты "на смекалку".

Ключевые формулы

Для планиметрических задач из двадцать первого номера чаще всего достаточно трёх формул. Их нужно знать наизусть.

Полезный приём: дополнительные линии

Если задача кажется сложной -- проведи дополнительную линию. Чаще всего это высота треугольника или перпендикуляр из вершины трапеции на большее основание. Он "отрезает" прямоугольный треугольник, где уже работает теорема Пифагора.

Алгоритм решения

Разборы задач

Три сюжета от простого к посложнее: треугольный флаг, квадратная плитка, земельный участок-трапеция.

Пример 1. Треугольный флаг

Условие: Школьный флаг имеет форму прямоугольного треугольника. Один его катет равен $60$ см, а гипотенуза -- $100$ см. Найди площадь флага в квадратных сантиметрах.

Решение:

1. Найдём второй катет по теореме Пифагора:

$$AC^2 = 100^2 - 60^2 = 10\,000 - 3\,600 = 6\,400$$

$$AC = 80 \text{ см}$$

2. Площадь прямоугольного треугольника -- половина произведения катетов:

$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 60 \cdot 80 = \dfrac{4\,800}{2} = 2\,400$$

Ответ: $2400$

Пример 2. Треугольная плитка

Условие: Подошва треугольной плитки -- равнобедренный треугольник с боковой стороной $10$ см и углом при вершине $150^\circ$. Найди площадь плитки в квадратных сантиметрах. Считай, что $\sin 150^\circ = 0{,}5$.

Пример 3. Земельный участок-трапеция

Условие: Земельный участок имеет форму равнобокой трапеции. Параллельные стороны (верхняя и нижняя границы) равны $18$ м и $32$ м, а высота участка (расстояние между параллельными сторонами) равна $10$ м. Хозяин хочет провести вдоль средней линии участка дорожку. Найди сумму длины дорожки и площади участка, выраженной в квадратных метрах.

Частые ошибки

Что запомнить

1. Пифагор: $c^2 = a^2 + b^2$ -- только для прямого угла.
2. Площадь треугольника: $S = \dfrac{1}{2} a h$ (через высоту) или $S = \dfrac{1}{2} a b \sin\gamma$ (через две стороны и угол).
3. Средняя линия трапеции: $m = \dfrac{a + b}{2}$, параллельна основаниям.
4. Площадь трапеции через среднюю линию: $S = m \cdot h$.
5. Если задача кажется сложной -- проведи высоту или диагональ. Прямоугольный треугольник почти всегда прячется где-то рядом.

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. У прямоугольного треугольника катет равен $60$ см, а гипотенуза $100$ см. Чему равен второй катет?
   • $80$ см
   • $40$ см
   • $\sqrt{13600}$ см
   • $160$ см
2. Основания трапеции равны $18$ м и $32$ м. Чему равна её средняя линия?
   • $25$ м
   • $50$ м
   • $14$ м
   • $7$ м
3. Две стороны треугольника равны $10$ и $10$, угол между ними $150^\circ$, $\sin 150^\circ = 0{,}5$. Чему равна площадь?
   • $25$
   • $50$
   • $100$
   • $12{,}5$
4. Для какого треугольника справедлива теорема Пифагора $c^2 = a^2 + b^2$?
   • Только для прямоугольного
   • Для любого треугольника
   • Только для равнобедренного
   • Только для равностороннего

Проверить