Текстовые задачи

Содержание

Задачи на смекалку (Задание 21)
Ключевые факты и формулы
Алгоритм решения
Примеры решения
Частые ошибки
Что запомнить
Стратегия на экзамене

Задачи на смекалку (Задание 21)

Задание 21 - финальный номер базовой ЕГЭ. Оно проверяет логику, здравый смысл и умение строить простейшую модель. Сюжеты разные: распил досок, подъём туриста, совместная работа, покупки с обменом. Для решения достаточно базовой арифметики и одного линейного уравнения - важно только внимательно прочитать условие и перевести слова в числа.

Ключевые факты и формулы

Большинство задач этого типа сводится к одному из трёх сюжетов: разбиение на части, процесс с откатом или чередование двух действий. Для каждого есть своя закономерность.

Алгоритм решения

Единого шаблона для таких задач нет, но этот пошаговый план распутывает большинство сюжетов.

АЛГОРИТМ

Как подступиться к задаче на смекалку

Смоделируй ситуацию руками. Нарисуй схему или короткую таблицу для первых двух-трёх шагов. Если в задаче распил - нарисуй линии. Если процесс - выпиши, что было в начале и после первого цикла.
Найди скрытый подвох. Задай себе вопрос: "Что здесь работает не так, как кажется?". Чаще всего ловушка прячется в последнем шаге (нет ночного отката в день финиша) или в начале (было не один объект, а несколько).
Переведи текст в простое уравнение. Обозначь искомое за $x$ и свяжи данные одной формулой.
Проверь ответ. Подставь число обратно в условие и "прокрути" сценарий от старта до финала. Если ответ сошёлся до каждой буквы - всё верно.

Примеры решения

Три типичных сюжета: разбиение с несколькими исходными частями, подъём с откатом и чередование с разной скоростью.

Пример 1. Ленты для подарков

Условие: Для упаковки подарков продавец взял несколько одинаковых лент. Всего он сделал 22 поперечных разреза и получил 30 кусков. Сколько лент было изначально?

Решение:

Каждый разрез прибавляет ровно один кусок к общему количеству.
Обозначим количество лент за $x$ . Связь:

\text{Куски} = \text{Ленты} + \text{Разрезы} \quad \Rightarrow \quad 30 = x + 22

Отсюда $x = 30 - 22 = 8$ .

Ответ: $8$

Пример 2. Турист в горах

Условие: Турист поднимается по крутой тропе к вершине. За световой день он проходит вверх 5 км, но за ночь из-за усталости и скользкого склона сползает вниз на 2 км. Всего от лагеря до вершины - 17 км. На какой по счёту день турист впервые окажется на вершине?

Вертикальная числовая ось высоты от 0 до 17 км с отметками ч

Находим чистый прогресс за сутки

Чистый прогресс за одни полные сутки (день + ночь):

5 - 2 = 3 \text{ км}

Соблазнительно поделить $\dfrac{17}{3}$ и округлить, но так делать нельзя: в день финиша турист достигает вершины днём, и ночного сползания уже не случится.

Убираем рывок последнего дня

Отними из общего пути "рывок" последнего дня: $17 - 5 = 12$ км. Эти 12 км нужно пройти в обычном режиме, с ночными откатами.

Считаем полные сутки

За сколько полных суток турист наберёт 12 км чистого прогресса?

\dfrac{12}{3} = 4 \text{ суток}

К началу 5-го дня турист находится на отметке 12 км. Днём он проходит 5 км и оказывается на:

12 + 5 = 17 \text{ км}

Это вершина! Случилось на 5-й день.

Проверяем таблицей

Проверка таблицей (высота к концу дня и к концу ночи):

День	Конец дня	Конец ночи
1	$5$	$3$
2	$8$	$6$
3	$11$	$9$
4	$14$	$12$
5	$17$ (финиш)	-

Ответ: $5$

Пример 3. Сбор урожая на двоих

Условие: Отец и сын собрали с огорода 120 кг картофеля и вскопали одну грядку, начав и закончив одновременно. Сначала сын собирал картофель, а отец копал, но в какой-то момент они поменялись. Отец и копает, и собирает картофель в $2$ раза быстрее сына. Сколько килограммов картофеля собрал отец, если грядку они вскопали поровну?

Полоса общего времени 3t: у отца копает t и собирает 2t, у сына собирает t и копает 2t

Раскручиваем условие про грядку

Главное условие - грядку вскопали поровну. Отсюда и надо раскручивать.

Отец копает в 2 раза быстрее сына. Значит, чтобы вскопать свою половину грядки, сыну нужно в 2 раза больше времени, чем отцу.

Вводим время и считаем общее

Обозначим время, которое отец потратил на грядку, за $t$ . Тогда сын копал свою половину $2t$ .

Работа началась и закончилась одновременно. Общее время у обоих одинаковое:

t + 2t = 3t

Сравниваем время на картофель

Посмотри, сколько времени каждый собирал картофель:

Отец копал $t$ , значит, на картофель у него осталось $3t - t = 2t$ .
Сын копал $2t$ , значит, на картофель у него осталось $3t - 2t = t$ .

Выходит, отец собирал картофель в 2 раза дольше сына. А ещё отец собирает в 2 раза быстрее.

Собранное количество - это "скорость, умноженная на время". У отца оба множителя в 2 раза больше:

\text{в } 2 \text{ раза быстрее} \cdot \text{в } 2 \text{ раза дольше} = \text{в } 4 \text{ раза больше картофеля}

Составляем и решаем уравнение

Пусть сын собрал $x$ кг. Тогда отец собрал $4x$ кг. Вместе:

x + 4x = 120

5x = 120 \implies x = 24

Отец собрал:

4x = 4 \cdot 24 = 96 \text{ кг}

Ответ: $96$

Частые ошибки

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Деление без учёта последнего шага

Ошибка: В задаче про подъём с откатом поделить общий путь на разницу между дневным подъёмом и ночным спуском. Например, для туриста: $\dfrac{17}{5 - 2} \approx 5{,}67$ и округлить до $6$ .

Правильно: В день финиша отката не будет. Сначала отними дневной рывок от общей цели, раздели остаток на чистый прогресс за сутки, затем добавь один день на финальный рывок. Для туриста: $(17 - 5) / 3 + 1 = 5$ дней.

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Перепутали "на" и "в"

Ошибка: В условии сказано "отец работает в $2$ раза быстрее", а ученик считает, как будто отец работает на $2$ единицы быстрее. Или наоборот: "отдал на $3$ монеты больше" трактуют как "в $3$ раза больше".

Правильно:

"В $k$ раз" - это умножение/деление: $v_{\text{отца}} = k \cdot v_{\text{сына}}$ .
"На $k$ " - это сложение/вычитание: $v_{\text{отца}} = v_{\text{сына}} + k$ .

Прочитай условие вслух и подчеркни предлоги "в" или "на" карандашом. Это снимает половину ошибок в таких задачах.

Что запомнить

Распилы: $\text{Куски} = \text{Разрезы} + \text{Изначальное количество объектов}$ .
Процесс с откатом: в день финиша отката нет. Алгоритм - отними рывок последнего шага от цели, поделив остаток на чистый прогресс, и добавь $1$ день.
Кто-то работает быстрее в $k$ раз: при одинаковом объёме работы более быстрый тратит в $k$ раз меньше времени; за одинаковое время он делает в $k$ раз больший объём.
"В" vs "на": "в $k$ раз" - это умножение, "на $k$ " - это сложение. Перечитывай предлог в условии.
Таблица - твой друг. Для процессов с повторением заполни 2-3 строки вручную, прежде чем писать формулу.

Стратегия на экзамене

СОВЕТ

Стратегия

Ориентировочное время: 15 минут. Это одна из самых нестандартных задач варианта.
Когда решать: оставь на конец экзамена. Она требует вдумчивости и может "съесть" время, нужное на более простые алгоритмические номера.
Рисуй и заполняй таблицу. Не пытайся решить в уме. Нарисуй чёрточки, палочки, заполни первые 2-3 строки процесса. Визуализация спасает от ошибок на $\pm 1$ .
Подставь ответ обратно. Если решил, обязательно проверь: подставь число в условие и "прокрути" всю историю от начала до конца. Если по любой строке не сходится - ответ неверен.
Проверяй предлоги. Перед решением подчеркни в условии слова "в" и "на" - это главные источники арифметических ошибок в этом номере.

Проверь себя

Бревно распилили, сделав 6 поперечных распилов. Сколько получилось кусков?
Было 4 одинаковые доски, всего сделали 10 распилов. Сколько кусков получилось?
Улитка за день поднимается на 4 м, за ночь сползает на 1 м. Высота столба 10 м. На какой день она впервые окажется наверху?
Мастер красит забор в 3 раза быстрее ученика. Во сколько раз меньше времени мастер потратит на тот же забор?