Задание 11: Прикладная стереометрия

О задании 11 (Прикладная стереометрия)

Задание 11 базового ЕГЭ по математике проверяет, как хорошо ты понимаешь объёмы и площади поверхностей в реальной жизни. Здесь не нужно строить сложные сечения или доказывать теоремы, как в профиле. Тебе предстоит работать с коробками, трубами, аквариумами, деталями и архитектурными копиями.

В этом задании от тебя требуется базовое понимание стереометрии: как посчитать объём воды, сколько краски уйдёт на деталь и как изменятся размеры фигуры, если её увеличить или уменьшить.

Какие темы встречаются

В банке ФИПИ для этого задания можно выделить несколько основных сюжетов:

• Круглые тела (~30%). Трубы, колодцы, цилиндрические сосуды. Чаще всего просят найти площадь поверхности под покраску или объём.
• Призмы и параллелепипеды (~30%). Коробки, аквариумы, баки. Популярны задачи на сравнение объёмов двух коробок разных пропорций.
• Пирамиды (~23%). Египетские пирамиды, крыши, копии для музеев. Задачи на пропорции (подобие).
• Составные многогранники (~17%). Детали необычной формы, кубы с вырезанными гранями. Нужно найти площадь поверхности или объём кусочной фигуры.

Общий алгоритм решения

Почти любая задача этого номера решается по чёткому плану:

Основные формулы

Выпиши эти формулы на черновик в начале экзамена - в справочных материалах их не будет. Все они из школьного учебника.

Примеры решения

Разберём два частых сюжета - один на круглые тела, другой на подобие пирамид.

Пример 1. Объём бака (Круглые тела)

Условие: Цилиндрический бак имеет радиус основания $40$ см и высоту $50$ см. Найди, сколько литров воды помещается в баке, если он заполнен до краёв. В одном литре $1\,000$ кубических сантиметров. Считай $\pi = 3{,}14$.

Пример 2. Копия пирамиды (Пирамиды)

Условие: Музей заказал уменьшенную копию памятника в форме правильной четырёхугольной пирамиды. Сторона основания оригинала равна $160$ м, высота оригинала равна $96$ м. Сторона основания копии равна $40$ см. Найди высоту копии в сантиметрах.

Частые ошибки

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. По какой формуле вычисляется объём цилиндра?
   • $V = \pi R^2 h$
   • $V = 2\pi R h$
   • $V = \dfrac{1}{3}\pi R^2 h$
   • $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$
2. Сторона основания копии пирамиды в $200$ раз меньше стороны оригинала. Во сколько раз меньше высота копии?
   • в $200$ раз
   • в $200^2 = 40\,000$ раз
   • в $200^3$ раз
   • в $\sqrt{200}$ раз
3. Объём бака равен $50\,000$ кубических сантиметров. Сколько это литров?
   • $50$
   • $500$
   • $5$
   • $50\,000$
4. Куб с ребром $a$ лишили одной грани и красят снаружи со всех сторон. Какова площадь покраски?
   • $5a^2$
   • $6a^2$
   • $4a^2$
   • $a^3$

Проверить