Круглые тела

Круглые тела: цилиндры, конусы и шары (Задание 11)

В задании 11 ЕГЭ-база среди стереометрических задач регулярно попадаются "круглые" тела: цилиндры (бочки, баллоны, трубы, ведра), конусы (воронки, бокалы, кучи песка) и шары (мячи, глобусы, ёлочные шары). Контекст максимально бытовой: посчитать вместимость бочки, покрасить трубу, найти объём футбольного мяча.

Здесь не нужно строить сложные сечения. Главное - знать три формулы объёма, уметь работать с единицами измерения и помнить, как меняется объём при изменении размеров.

Суть темы

Круглые тела называются так, потому что в их основании лежит круг. Цилиндр получается вращением прямоугольника вокруг стороны, конус - вращением прямоугольного треугольника вокруг катета, а шар - вращением полукруга вокруг диаметра.

Основные формулы

На экзамене выдают справочные материалы, где есть большинство этих формул. Но важно уметь их "читать" и быстро применять к бытовым ситуациям. В базовой версии ЕГЭ часто задают подсказку: "считайте $\pi = 3$". Тогда все расчёты становятся простыми.

Алгоритм решения

Задачи на круглые тела обычно решаются в одно-два действия.

Примеры решения

Разберём три типовые задачи: цилиндр по формуле, шар по формуле, сравнение объёмов цилиндра и конуса.

Пример 1. Вместимость бочки

Условие: Дождевая бочка имеет форму цилиндра с радиусом основания $20$ см и высотой $50$ см. Найди объём бочки в литрах, если $1$ литр $= 1000$ см³. Считай $\pi = 3$.

Решение:

1. Бочка - цилиндр. Подставляем в формулу объёма:

$$V = \pi R^2 H = 3 \cdot 20^2 \cdot 50$$

2. Считаем по действиям:

$$V = 3 \cdot 400 \cdot 50 = 60\,000 \text{ см}^3$$

3. Переводим в литры:

$$V = \dfrac{60\,000}{1000} = 60 \text{ литров}$$

Ответ: $60$

Пример 2. Объём мяча

Условие: Радиус футбольного мяча равен $10$ см. Найди его объём в кубических сантиметрах. Считай $\pi = 3$.

Пример 3. Ведро и воронка

Условие: Ведро имеет форму цилиндра, воронка - форму конуса. У ведра и воронки одинаковые радиусы оснований и одинаковые высоты. Полное ведро вмещает $12$ литров воды. Сколько литров воды вмещает полная воронка?

Частые ошибки

Что запомнить

• Цилиндр: $V = \pi R^2 H$. Конус: $V = \dfrac{1}{3} \pi R^2 H$. Шар: $V = \dfrac{4}{3} \pi R^3$.

• Конус в $3$ раза меньше цилиндра с тем же основанием и высотой. Это прямое следствие множителя $\dfrac{1}{3}$.

• Труба = цилиндр. Если дан "внешний обхват", то площадь покраски = обхват $\cdot$ длина. Про $\pi$ забываем.

• Подобие. Если все линейные размеры изменились в $k$ раз: площадь меняется в $k^2$ раз, объём - в $k^3$ раз.

• Единицы. $1$ м $= 100$ см, $1$ л $= 1000$ см³. Переводи до подстановки.

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. Чему равен объём цилиндра с радиусом основания $R$ и высотой $H$?
   • $\pi R^2 H$
   • $2\pi R H$
   • $\dfrac{1}{3}\pi R^2 H$
   • $\pi R H^2$
2. Ведро-цилиндр вмещает $9$ литров. Сколько вмещает конус с тем же радиусом основания и той же высотой?
   • $3$ литра
   • $9$ литров
   • $4{,}5$ литра
   • $27$ литров
3. Радиус шара равен $10$ см, $\pi = 3$. Чему равен объём шара?
   • $4000$ см³
   • $1000$ см³
   • $3000$ см³
   • $12\,000$ см³
4. Все линейные размеры конуса увеличили в $2$ раза. Во сколько раз увеличился его объём?
   • В $8$ раз
   • В $2$ раза
   • В $4$ раза
   • В $6$ раз

Проверить