Проценты, округление

Проценты (Задание 15)

Задание 15 в базовом ЕГЭ чаще всего посвящено процентам. Это одни из самых житейских задач на экзамене: здесь считают скидки в магазинах, налог с зарплаты, ставки по кредиту и банковскому вкладу, изменение цен и численности населения.

Суть темы

Слово "процент" буквально переводится как "за сотню" (pro centum).

Ключевое правило процентов: всю величину, с которой сравнивают, принимают за $100\%$. Если речь идёт об изменении цены, за $100\%$ принимается старая (исходная) цена. Если речь о налоге - за $100\%$ берут зарплату до вычета.

Основные формулы

Три формулы закрывают почти все задачи задания 15.

Для быстрого счёта удобно переводить проценты в десятичные дроби: $1\% = 0{,}01$, $5\% = 0{,}05$, $13\% = 0{,}13$, $100\% = 1$. Чтобы перевести процент в дробь, раздели его на $100$.

Вместо двух действий (найти процент, потом прибавить или вычесть) можно в один шаг воспользоваться десятичным множителем.

Алгоритм решения

Если десятичные множители кажутся сложными, есть универсальный метод, который работает всегда и спасает от ошибок, - метод пропорции.

Примеры решения

Разберём задачи от самых простых до тех, где нужно сделать несколько шагов.

Пример 1. Скидка в магазине

Условие: В магазине электроники наушники стоят $8\,400$ рублей. В выходные на них действует скидка $15\%$. Сколько рублей покупатель заплатит за наушники в выходные?

Решение:

Способ 1 (через множитель). Скидка $15\%$ - заплатишь $100\% - 15\% = 85\%$ от исходной цены. Множитель $85\% = 0{,}85$.

$$8\,400 \cdot 0{,}85 = 7\,140$$

Способ 2 (через пропорцию). Исходная цена - $100\%$. Цена со скидкой - $85\%$. $8\,400$ руб. - $100\%$ $x$ руб. - $85\%$

Перемножаем крест-накрест:

$$x \cdot 100 = 8\,400 \cdot 85$$

$$x = \dfrac{8\,400 \cdot 85}{100} = 84 \cdot 85 = 7\,140$$

Ответ: $7140$

Пример 2. Зарплата и налог

Условие: Налог на доходы составляет $13\%$ от заработной платы. Заработная плата Анны за месяц равна $58\,000$ рублей. Сколько рублей она получит после уплаты налога?

Пример 3. Поиск целого по его части (население)

Условие: В небольшом городе $420$ жителей работают в школах, что составляет $6\%$ от всех работающих жителей города. Сколько всего работающих жителей в городе?

Пример 4. Кредит и процентная переплата

Условие: Банк выдал клиенту кредит $180\,000$ рублей. За год клиент выплатил банку $207\,000$ рублей (тело кредита плюс проценты). На сколько процентов сумма выплат превысила сумму кредита?

Частые ошибки

Что запомнить

• $1\%$ - это одна сотая: $1\% = \dfrac{1}{100} = 0{,}01$.

• За $100\%$ принимается то число, с которым сравнивают (исходная цена, зарплата до налога, общее количество людей, сумма кредита).

• Скидка $20\%$: платишь $80\%$ от цены, множитель $0{,}8$. Налог $13\%$: на руки $87\%$ зарплаты, множитель $0{,}87$.

• Подорожание на $p\%$: множитель $1 + \dfrac{p}{100}$. Удешевление на $p\%$: множитель $1 - \dfrac{p}{100}$.

• Два последовательных изменения процентов не складываются: $+20\%$ и затем $-20\%$ дают $1{,}2\cdot 0{,}8 = 0{,}96$, то есть $-4\%$ от исходной.

• Пропорция решает любые задачи на проценты: пиши рубли под рублями, проценты под процентами, перемножай крест-накрест.

Проверь себя

1. Товар стоил $2\,000$ рублей, на него сделали скидку $30\%$. Сколько рублей стоит товар со скидкой?
   • $1\,400$
   • $1\,700$
   • $600$
   • $1\,940$
2. Каким множителем удобно воспользоваться, чтобы найти зарплату «на руки» после налога $13\%$?
   • $0{,}87$
   • $0{,}13$
   • $1{,}13$
   • $0{,}97$
3. Цена выросла со $160$ до $200$ рублей. На сколько процентов выросла цена?
   • На $25\%$
   • На $20\%$
   • На $40\%$
   • На $125\%$
4. Цену увеличили на $20\%$, а затем уменьшили на $20\%$. Что произошло с ценой в итоге?
   • Уменьшилась на $4\%$
   • Вернулась к исходной
   • Увеличилась на $4\%$
   • Уменьшилась на $40\%$

Проверить