Цифровая запись числа

Цифровая запись числа и признаки делимости (Задание 19)

Задание 19 в ЕГЭ по математике базового уровня - это задача-головоломка. В ней не дают готовых уравнений, а просят собрать число, как конструктор, по определённым правилам. Чаще всего требуется найти какое-нибудь одно число, которое подходит под все условия. Искать все варианты не нужно - достаточно найти один правильный.

Суть темы

Различай два понятия: цифра и число.

• Цифры - это значки $0, 1, 2, \dots, 9$. Их всего десять.
• Числа составляются из цифр. Например, $2026$ - четырёхзначное число из цифр $2$, $0$, $2$, $6$.

Любое натуральное число можно разложить по разрядам - это и есть его десятичная запись.

Вторая важнейшая часть темы - признаки делимости. Без них решить задание 19 почти невозможно.

Основные признаки делимости

Тебе нужно помнить базовые правила, по которым можно узнать, делится ли число нацело, не выполняя само деление в столбик.

1. На 2: число оканчивается на чётную цифру ($0, 2, 4, 6, 8$).
2. На 5: число оканчивается на $0$ или $5$.
3. На 10: число оканчивается на $0$.
4. На 3: сумма всех цифр числа делится на $3$. (Например, $168$: $1+6+8=15$, делится на $3$).
5. На 9: сумма всех цифр числа делится на $9$.
6. На 4: число, составленное из двух последних цифр, делится на $4$. (Например, $1524$ делится на $4$, так как $24$ делится на $4$).

Но в ЕГЭ часто просят проверить делимость на числа вроде $12, 15, 18$ или $45$. Для них работает специальное правило.

Как это применять:

• Чтобы число делилось на $12$, оно должно одновременно делиться на $3$ и на $4$ (брать $2$ и $6$ нельзя, так как они оба делятся на $2$).
• Чтобы число делилось на $15$, оно должно делиться на $3$ и на $5$.
• Чтобы число делилось на $45$, оно должно делиться на $5$ и на $9$.
• Чтобы число делилось на $18$, оно должно делиться на $2$ и на $9$.

Алгоритм решения

В задачах на поиск числа действует метод «от сильного ограничения к слабому».

Примеры решения

Разберём три самых частых сюжета: вычёркивание цифр, конструирование числа по свойствам цифр и работу с остатками.

Пример 1. Вычёркивание цифр

Условие: Вычеркни в числе $29\,170\,836$ две цифры так, чтобы получившееся число делилось на $18$. В ответе запиши какое-нибудь одно получившееся число.

Решение:

1. Исходное число состоит из $8$ цифр. После вычёркивания двух останется $6$ цифр.
2. Делимость на $18$ = делимость на $2$ И делимость на $9$. Значит, последняя цифра должна быть чётной, а сумма цифр - делиться на $9$.
3. Сумма всех цифр: $2+9+1+7+0+8+3+6=36$. Число $36$ делится на $9$.
4. Чтобы после вычёркивания сумма осталась кратной $9$, сумма двух вычеркнутых цифр должна делиться на $9$ (быть равной $0$, $9$ или $18$).
5. Подберём пару цифр с суммой $9$: подойдут $1$ и $8$, или $3$ и $6$, или $2$ и $7$.
6. Выберем пару $1$ и $8$. Вычёркиваем их: $2\,9\,7\,0\,3\,6$, то есть $297\,036$.
7. Последняя цифра $6$ - чётная, значит, делится и на $2$. Итоговая сумма цифр: $2+9+7+0+3+6=27$, делится на $9$.
8. Проверка: $297\,036 : 18 = 16\,502$. Сходится.

Ответ: $297\,036$

Пример 2. Конструирование числа

Условие: Найди четырёхзначное число, кратное $45$, все цифры которого различны и нечётны. В ответе укажи какое-нибудь одно такое число.

Пример 3. Задачи с остатками

Условие: Найди трёхзначное число, которое при делении и на $5$, и на $6$, и на $8$ даёт в остатке $4$, а все цифры в его записи чётные.

Частые ошибки

Что запомнить

• Число кратно $15$ $\iff$ оканчивается на $0$ или $5$ И сумма цифр делится на $3$.
• Число кратно $45$ $\iff$ оканчивается на $0$ или $5$ И сумма цифр делится на $9$.
• Число кратно $12$ $\iff$ две последние цифры образуют число, делящееся на $4$ И сумма цифр делится на $3$.
• Если задача на остатки (остаток $R$ при делении на $A, B, C$) - найди общее кратное для делителей и прибавь к нему этот остаток $R$.
• В ответ вписывай только одно число, даже если подходят несколько вариантов.

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. Число делится на $45$ тогда и только тогда, когда оно...
   • оканчивается на $0$ или $5$ и сумма его цифр делится на $9$
   • оканчивается на $5$ и сумма его цифр делится на $5$
   • делится на $5$ и на $40$
   • оканчивается на $45$
2. Можно ли проверять делимость на $12$ через делимость на $2$ и на $6$?
   • Да, ведь $2 \cdot 6 = 12$
   • Нет: $2$ и $6$ не взаимно простые, нужно брать $3$ и $4$
   • Да, но только для чётных чисел
3. Сумма цифр числа $29\,170\,836$ равна $36$. Какова должна быть сумма двух вычеркнутых цифр, чтобы оставшееся число могло делиться на $9$?
   • $0$, $9$ или $18$
   • Любая чётная
   • Ровно $9$
   • $3$, $6$ или $9$
4. Число при делении на $5$, $6$ и $8$ даёт остаток $4$. Каким может быть это число?
   • $124$
   • $120$
   • $116$
   • $64$

Проверить