Площадь поверхности составного многогранника

Площадь поверхности составного многогранника (Задание 11)

В задании 11 базового ЕГЭ по математике часто встречаются нестандартные фигуры: ящики без крышки, детали в форме лестницы или блоки со сквозными отверстиями. Такие фигуры называют составными многогранниками. Чтобы найти площадь их поверхности, не нужно учить десятки новых формул. Достаточно здравого смысла и понимания, из чего состоит деталь.

Суть темы

Площадь поверхности любого тела - это площадь всей его наружной «оболочки». Представь, что фигуру нужно полностью покрасить или обернуть подарочной бумагой. Количество этой бумаги и будет площадью поверхности.

Составные многогранники получаются, когда мы отрезаем кусок от простой фигуры (например, от прямоугольного параллелепипеда) или, наоборот, склеиваем две простые фигуры вместе.

Основные формулы и приёмы

Любой многогранник с прямыми углами состоит из прямоугольников. Поэтому главная формула здесь самая простая:

Если фигура целая, мы просто складываем площади всех её сторон. У прямоугольного параллелепипеда $6$ граней, попарно равных друг другу:

Для детали со «ступенькой» (параллелепипед с вырезанным углом) удобно использовать формулу через силуэты. Посмотри на фигуру с трёх сторон: сверху, сбоку и спереди. Каждый из трёх силуэтов - прямоугольник со сторонами, равными габаритам исходного блока.

Алгоритм решения

Примеры решения

Разберём три задачи от простой к сложной: коробка без крышки, деталь-ступенька из демоверсии и блок со сквозным отверстием.

Пример 1. Ящик для инструментов без крышки

Ящик для инструментов имеет форму прямоугольного параллелепипеда с размерами $40 \times 25 \times 20$ см и открыт сверху (нет верхней грани). Сколько квадратных сантиметров потребуется на окраску ящика снаружи?

Решение:

1. У целого параллелепипеда шесть граней. Здесь нет одной - верхней, размером $40 \times 25$.
2. Найдём площадь целого параллелепипеда:

$$S_{\text{целый}} = 2 \cdot (40 \cdot 25 + 40 \cdot 20 + 25 \cdot 20) = 2 \cdot (1000 + 800 + 500) = 4600$$

3. Вычтем площадь отсутствующей верхней грани:

$$S = 4600 - 40 \cdot 25 = 4600 - 1000 = 3600$$

Ответ: $3600$

Теперь разберём классическую угловую полку - деталь-ступеньку.

Пример 2. Угловая полка со ступенькой

Угловая полка имеет форму многогранника с прямыми двугранными углами. Габариты полки: длина $6$, ширина $4$, высота $5$ (в условных единицах). В верхнем углу вырезан кусок - ступенька размерами $3$ в длину и $2$ в высоту на всю ширину полки. Найди площадь поверхности полки.

И самый сложный случай - сквозное отверстие (дверной проём в стене). Здесь метод силуэтов не работает: проём делает новые внутренние грани, которых у целого блока не было.

Пример 3. Стена с дверным проёмом

Из монолитного бетонного блока с габаритами $4 \times 5 \times 6$ сделан сквозной прямоугольный проём размером $2 \times 2$, проходящий от передней грани до задней (длина проёма $6$). Найди площадь полной поверхности получившейся детали.

Частые ошибки

Что запомнить

• Площадь поверхности - это сумма площадей всех видимых граней.

• Для деталей со ступенькой на углу площадь поверхности равна площади целого параллелепипеда по максимальным габаритам: $S = 2(ab+bc+ac)$. Но перед применением всегда проверяй, не меняет ли вырез силуэты.

• В задачах на сквозные отверстия и проёмы из площади большого блока вычитай «входы» и обязательно прибавляй внутренние стенки.

• Внимательно читай про ящики и контейнеры: часто они без крышки, поэтому граней меньше, чем у целого параллелепипеда.

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. У открытого сверху ящика в форме прямоугольного параллелепипеда сколько граней нужно покрасить снаружи?
   • $5$
   • $6$
   • $4$
2. Чему равна площадь поверхности целого прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $4$, $5$ и $6$?
   • $2\cdot(4\cdot 5 + 5\cdot 6 + 4\cdot 6) = 148$
   • $4\cdot 5\cdot 6 = 120$
   • $4\cdot 5 + 5\cdot 6 + 4\cdot 6 = 74$
3. В блоке сделан сквозной прямоугольный проём. Что нужно сделать с внутренними стенками проёма при подсчёте площади поверхности?
   • Прибавить их площадь, а площади двух «входов» вычесть
   • Ничего: проём не влияет на площадь поверхности
   • Вычесть их площадь вместе с площадями «входов»
4. Ученик разбил Г-образную деталь на два параллелепипеда и сложил площади их поверхностей. Что он забыл?
   • Вычесть удвоенную площадь места склейки
   • Прибавить удвоенную площадь места склейки
   • Вычесть площадь склейки один раз

Проверить