Прямоугольник

Прямоугольник в практических задачах (Задание 10)

Задание 10 базового ЕГЭ по математике проверяет твоё умение применять геометрию в реальной жизни. Прямоугольник - самая частая фигура в нашем быту: форма комнаты, футбольного поля, листа бумаги, экрана телевизора, паркетной доски. В этом конспекте разберём, как быстро и без ошибок считать периметры, площади и диагонали.

Суть темы

В задачах на прямоугольник от тебя требуется найти одну из трёх главных характеристик: периметр (длина границы), площадь (размер внутренней поверхности) или диагональ (отрезок из одного угла в противоположный).

Маркеры в тексте:

• Забор, плинтус, бордюр, рамка, бортик грядки - ищем периметр.
• Паркет, плитка, краска, газон, ковёр, обои - ищем площадь.
• Экран телевизора "по диагонали", путь наискосок через комнату - ищем диагональ.

Основные формулы и факты

Для прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ (длиной и шириной) действуют три базовые формулы.

Диагональ прямоугольника делит его на два одинаковых прямоугольных треугольника. Диагональ $d$ в таком треугольнике становится гипотенузой, а стороны $a$ и $b$ - катетами. По теореме Пифагора:

Самая главная сложность в этих задачах - разные единицы измерения. Комнаты измеряют в метрах, а паркет - в сантиметрах.

Для задач на укладку плитки или паркета работает универсальное правило:

Алгоритм решения

Чтобы не запутаться в нулях и метрах, действуй по шагам.

Примеры решения

Разберём три типовых сюжета: от простого периметра к диагонали и задаче с покрытием.

Пример 1. Бортик для грядки

Условие: Прямоугольная грядка имеет длину $7$ м и ширину $3$ м. Чтобы края грядки не осыпались, её огораживают деревянным бортиком по всему периметру, а посередине разделяют таким же бортиком на две равные прямоугольные части (перегородка параллельна короткой стороне). Найди общую длину бортика в метрах.

Решение:

1. Внешний периметр грядки:

$$P = 2 \cdot (7 + 3) = 2 \cdot 10 = 20 \text{ м}$$

2. Перегородка параллельна короткой стороне, значит её длина равна $3$ м.
3. Общая длина бортика:

$$L = 20 + 3 = 23 \text{ м}$$

Ответ: $23$

Когда в задаче упоминается "экран по диагонали" или "путь наискосок", работает теорема Пифагора.

Пример 2. Диагональ экрана телевизора

Условие: Экран телевизора имеет форму прямоугольника шириной $60$ см и высотой $45$ см. Найди длину диагонали экрана в сантиметрах.

В задачах про покрытие пола или стен главное -- привести все размеры к одной единице и аккуратно считать большие числа.

Пример 3. Плитка для кухни

Условие: Пол кухни имеет форму прямоугольника со сторонами $3$ м и $6$ м. Пол планируют выложить квадратной плиткой со стороной $30$ см. Сколько потребуется плиток?

Частые ошибки

Что запомнить

• Забор = Периметр: $P = 2(a+b)$. Сумма всех линий на чертеже.
• Паркет = Площадь: $S = a \cdot b$. Произведение сторон.
• Диагональ = Пифагор: $d = \sqrt{a^2 + b^2}$. Гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $b$.
• Количество плиток -- это площадь пола разделить на площадь одной плитки.
• Метры всегда переводи в сантиметры перед умножением: $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$, $1 \text{ м}^2 = 10\,000 \text{ см}^2$.
• Чтобы отрезать от прямоугольника квадрат, перегородка должна быть равна короткой стороне прямоугольника.
• Если стороны кратны пифагоровым тройкам ($3$-$4$-$5$, $5$-$12$-$13$) -- диагональ получится целой.

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. Участок огорожен забором. Что вычисляем, чтобы найти длину забора?
   • Периметр: $P = 2(a+b)$
   • Площадь: $S = a \cdot b$
   • Диагональ: $d = \sqrt{a^2 + b^2}$
2. Экран прямоугольный, ширина $60$ см, высота $45$ см. Чему равна диагональ?
   • $75$ см
   • $105$ см
   • $52{,}5$ см
   • $2700$ см
3. Сколько квадратных сантиметров в $1 \text{ м}^2$?
   • $10\,000$
   • $100$
   • $1000$
   • $1\,000\,000$
4. Пол $3$ м на $6$ м выкладывают квадратной плиткой со стороной $30$ см. Сколько нужно плиток?
   • $200$
   • $20$
   • $60$
   • $2000$

Проверить