Расстояния, углы, координаты и векторы

Содержание

Когда стоит применять векторы и координаты
Векторы в координатах: длина, скалярное произведение, угол
Плоскости, нормаль и расстояние до плоскости
Векторное и смешанное произведение
Три типа углов и два типа расстояний (сводка)
Алгоритм решения в координатах
Примеры решений
Координаты и векторы на плоскости (планиметрия)
Частые ошибки
Оформление под рубрику ДВИ
Что запомнить
Стратегия на ДВИ

Когда стоит применять векторы и координаты

В задачах по стереометрии на ДВИ часто попадаются громоздкие конструкции: сечения под нестандартными углами, скрещивающиеся прямые в усечённых пирамидах или сложные отношения отрезков. Классический геометрический путь (через дополнительные построения и теорему косинусов) может занять страницы вычислений.

Векторно-координатный метод позволяет свести сложную геометрию к понятной алгебре. Если в задаче дан куб, прямоугольный параллелепипед, правильная призма или фигура с большим количеством прямых углов — смело вводи систему координат.

Тема называется широко — «Расстояния, углы, координаты и векторы». Поэтому конспект закрывает весь арсенал: координатный и базисный методы в пространстве, все три типа углов (между прямыми, прямой и плоскостью, между плоскостями), все типы расстояний (до плоскости, между скрещивающимися прямыми), векторное и смешанное произведение, а в конце — координаты и векторы на плоскости (планиметрия). На ДВИ лист формул не выдают, поэтому ключевые формулы здесь не только записаны, но и снабжены кратким выводом или мнемоническим якорем.

Векторы в координатах: длина, скалярное произведение, угол

Для работы в координатах тебе нужно уметь находить длины, скалярные произведения и уравнения плоскостей. Пусть даны векторы $\vec{a} = \{x_1, y_1, z_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2, y_2, z_2\}$ .

Запомни оба определения сразу: координатное нужно в декартовом методе, а геометрическое $(\vec a,\vec b)=|\vec a||\vec b|\cos\varphi$ — фундамент базисного метода (его разбираем ниже). Признак перпендикулярности: $\vec a \perp \vec b \iff (\vec a, \vec b) = 0$ .

Угол $\varphi$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется напрямую из определения скалярного произведения (поделив геометрическую форму на $|\vec a||\vec b|$ ):

ЗАМЕЧАНИЕ

Угол между векторами и угол между прямыми

Угол между векторами может быть тупым: $\varphi \in [0^\circ;\,180^\circ]$ (значения $0^\circ$ и $180^\circ$ означают коллинеарность — векторы сонаправлены или противонаправлены). Но угол между прямыми по определению острый или прямой: $\alpha \in [0^\circ;\, 90^\circ]$ . Поэтому для поиска угла между прямыми скалярное произведение берётся по модулю: $\cos \alpha = \dfrac{|(\vec{a}, \vec{b})|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$ .

Координаты середины и точки деления отрезка

Эта формула молча используется всюду (середина ребра, центр грани), поэтому выпишем её явно — на ДВИ молчаливое применение без ссылки рубрика прощает, но лучше назвать.

ВАЖНОЕ

Середина и деление отрезка

Середина отрезка с концами $P(x_1,y_1,z_1)$ и $Q(x_2,y_2,z_2)$ :

M = \left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2},\ \frac{z_1+z_2}{2}\right).

Точка $K$ , делящая $PQ$ в отношении $PK:KQ = \lambda:\mu$ (считая от $P$ ):

K = \frac{\mu\,P + \lambda\,Q}{\lambda + \mu}, \qquad \text{покоординатно } x_K = \frac{\mu x_1 + \lambda x_2}{\lambda+\mu}.

Центр (точка пересечения диагоналей) параллелограмма/прямоугольника — середина любой из его диагоналей; центроид треугольника — среднее трёх вершин $\dfrac{A+B+C}{3}$ .

Плоскости, нормаль и расстояние до плоскости

Вторая мощная часть метода — работа с плоскостями. Любая плоскость задаётся уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$ . Вектор $\vec{n} = \{A, B, C\}$ является нормалью к этой плоскости — он перпендикулярен любому вектору, лежащему в ней.

ЗАМЕЧАНИЕ

Нормаль определена с точностью до множителя

Если умножить уравнение плоскости на любое ненулевое число $k$ , получится та же плоскость, а нормаль станет $k\vec n$ . Значит, у плоскости бесконечно много нормалей, и все они коллинеарны. Это и есть «степень свободы», из-за которой при решении системы один коэффициент можно зафиксировать удобным числом (например, положить $C=-1$ или $D=1$ ) — мы просто выбираем конкретного представителя из семейства пропорциональных нормалей.

Откуда формула (мнемоника). Возьми любую точку $P$ на плоскости. Тогда $d$ — это модуль проекции вектора $\overrightarrow{PM_0}$ на единичную нормаль: $d = \dfrac{|(\overrightarrow{PM_0},\,\vec n)|}{|\vec n|}$ . Раскрыв скалярное произведение и воспользовавшись тем, что $AP_x+BP_y+CP_z = -D$ (точка $P$ лежит на плоскости), получаешь числитель $|Ax_0+By_0+Cz_0+D|$ . Числитель обязательно под модулем — расстояние неотрицательно (типичная ошибка — потерять модуль и получить отрицательное $d$ ).

Векторное и смешанное произведение

Чтобы не искать нормаль медленной системой из трёх уравнений, заведи в арсенал векторное произведение — оно даёт нормаль к плоскости за один шаг, а заодно площади и объёмы. Подробные формулы — в справочнике, раздел 9 «Векторы, координаты, произведения»; здесь приведём рабочую форму.

ВАЖНОЕ

Векторное произведение

$\vec{a} \times \vec{b}$ — вектор, перпендикулярный обоим $\vec a$ и $\vec b$ , длиной $|\vec a \times \vec b| = |\vec a|\,|\vec b|\sin\varphi$ (это площадь параллелограмма на $\vec a, \vec b$ ). Координатная формула — определитель:

\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix} = \big\{\, y_1 z_2 - z_1 y_2,\ \ z_1 x_2 - x_1 z_2,\ \ x_1 y_2 - y_1 x_2 \,\big\}.

Нормаль к плоскости $ABC$ одним действием: $\ \vec n = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ .

ВАЖНОЕ

Смешанное произведение

$(\vec a, \vec b, \vec c) = (\vec a \times \vec b,\ \vec c)$ — это определитель $3\times3$ из координат трёх векторов. Его модуль $|(\vec a,\vec b,\vec c)|$ равен объёму параллелепипеда на этих векторах; объём тетраэдра $= \tfrac16$ от него:

V_{\text{тетр}} = \tfrac16\,|(\vec a, \vec b, \vec c)|, \qquad (\vec a,\vec b,\vec c) = \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \end{vmatrix}.

Три типа углов и два типа расстояний (сводка)

Эта таблица — стержень темы. Заметь критическую разницу: для угла прямая–плоскость используется синус, для остальных — косинус.

ВАЖНОЕ

Углы и расстояния в пространстве

Угол между прямыми (направляющие $\vec u, \vec v$ ):

\cos\varphi = \frac{|(\vec u, \vec v)|}{|\vec u|\,|\vec v|}.

Угол между прямой и плоскостью (направляющая $\vec u$ , нормаль $\vec n$ ) — здесь синус:

\sin\alpha = \frac{|(\vec u, \vec n)|}{|\vec u|\,|\vec n|}.

Двугранный угол / угол между плоскостями (нормали $\vec n_1, \vec n_2$ ):

\cos\varphi = \frac{|(\vec n_1, \vec n_2)|}{|\vec n_1|\,|\vec n_2|}.

Расстояние от точки до плоскости $Ax+By+Cz+D=0$ :

d = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.

Расстояние между скрещивающимися прямыми (направляющие $\vec u, \vec v$ ; $A, B$ — точки на них):

d = \frac{|(\overrightarrow{AB},\ \vec u,\ \vec v)|}{|\vec u \times \vec v|}.

ЗАМЕЧАНИЕ

Почему у прямой и плоскости синус

Угол $\alpha$ между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на плоскость. Нормаль $\vec n$ перпендикулярна плоскости, поэтому угол между прямой и нормалью равен $90^\circ - \alpha$ . Косинус этого угла даёт $\cos(90^\circ-\alpha) = \sin\alpha$ . Отсюда $\sin\alpha = \dfrac{|(\vec u,\vec n)|}{|\vec u||\vec n|}$ — формула с нормалью, но слева синус. Перепутать здесь cos и sin — самая частая ошибка в этом типе.

Три типа углов: прямая-прямая, прямая-плоскость, плоскость-плоскость

Алгоритм решения в координатах

АЛГОРИТМ

Как оформить координатный метод на ДВИ

Задай систему координат. Обязательно напиши фразу: «Введём прямоугольную систему координат $Oxyz$ . Начало координат поместим в точку $...$ , ось $Ox$ направим вдоль $...$ , $Oy$ — вдоль $...$ , $Oz$ — вдоль $...$ ». Убедись, что выбранные направления попарно перпендикулярны (в кубе/прямоугольном параллелепипеде это очевидно по прямым углам граней — так и напиши). Без описания осей проверяющий имеет право не засчитать решение.
Найди координаты нужных точек. Опирайся на длины рёбер и свойства фигуры; середины и центры граней считай по формуле середины/деления отрезка.
Составь векторы, нормали или уравнение плоскости. Для векторов вычти из координат конца координаты начала. Нормаль к плоскости бери как $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$ (быстро) или через систему $Ax+By+Cz+D=0$ по трём точкам (надёжно, см. Пример 2).
Примени нужную формулу из сводки выше: угол (cos/sin!), расстояние или перпендикулярность ( $(\vec a,\vec b)=0$ ).
Проверь себя. Подставь координаты исходных точек в уравнение плоскости; прикинь разумность ответа (угол не должен выходить за $[0^\circ;90^\circ]$ , расстояние — положительно).

Примеры решений

Куб в системе координат с точками M и N примера 1

Пример 1. Угол между скрещивающимися прямыми (декартовы координаты)

Условие. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ . Точка $M$ — середина ребра $A_1B_1$ , точка $N$ — центр грани $BCC_1B_1$ . Найдите косинус угла между прямыми $AM$ и $DN$ .

Вводим систему координат

Пусть ребро куба равно $2$ (выбор длины ребра не влияет на углы, но число $2$ позволит избежать дробей). Введём прямоугольную систему координат с началом в вершине $D(0,0,0)$ . Рёбра $DA$ , $DC$ , $DD_1$ попарно перпендикулярны (грани куба прямоугольны), поэтому оси направим так: $Ox$ вдоль луча $DA$ , $Oy$ вдоль $DC$ , $Oz$ вдоль $DD_1$ .

Находим координаты точек

Выпишем координаты нужных точек:

$A(2, 0, 0)$ , $D(0, 0, 0)$ .
$M$ — середина $A_1(2, 0, 2)$ и $B_1(2, 2, 2)$ , по формуле середины $M\left(\dfrac{2+2}{2}, \dfrac{0+2}{2}, \dfrac{2+2}{2}\right) = (2, 1, 2)$ .
$N$ — центр грани $BCC_1B_1$ . Центр грани прямоугольника совпадает с точкой пересечения его диагоналей, то есть с серединой диагонали $BC_1$ . Координаты $B(2, 2, 0)$ и $C_1(0, 2, 2)$ , поэтому $N\left(\dfrac{2+0}{2},\dfrac{2+2}{2},\dfrac{0+2}{2}\right) = (1, 2, 1)$ .

Составляем направляющие векторы и их длины

Найдём направляющие векторы прямых (вычитаем из конца начало): $\vec{AM} = \{2-2,\ 1-0,\ 2-0\} = \{0, 1, 2\}$ . $\vec{DN} = \{1-0,\ 2-0,\ 1-0\} = \{1, 2, 1\}$ .

Вычислим длины: $|\vec{AM}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$ , $|\vec{DN}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{6}$ .

Считаем косинус угла

Скалярное произведение: $(\vec{AM}, \vec{DN}) = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 4$ .

Так как ищется угол между прямыми, берём модуль скалярного произведения:

\cos \varphi = \frac{|(\vec{AM}, \vec{DN})|}{|\vec{AM}| \cdot |\vec{DN}|} = \frac{4}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{6}} = \frac{4}{\sqrt{30}} = \frac{2\sqrt{30}}{15}.

Пример 2. Расстояние от точки до плоскости (два способа найти нормаль)

Условие. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $AB = 2$ , $AD = 2$ , $AA_1 = 4$ . Найдите расстояние от вершины $A_1$ до плоскости $BDC_1$ .

Вводим систему координат и находим точки

Введём систему координат с началом в точке $D(0,0,0)$ , оси $Ox \uparrow\uparrow \vec{DA}$ , $Oy \uparrow\uparrow \vec{DC}$ , $Oz \uparrow\uparrow \vec{DD_1}$ (рёбра попарно перпендикулярны). Координаты нужных точек:

$A_1(2, 0, 4)$ — точка, от которой ищем расстояние.
$B(2, 2, 0)$ , $D(0, 0, 0)$ , $C_1(0, 2, 4)$ .

Точки $B, D, C_1$ не лежат на одной прямой (векторы $\overrightarrow{DB}=\{2,2,0\}$ и $\overrightarrow{DC_1}=\{0,2,4\}$ неколлинеарны), поэтому плоскость $BDC_1$ определена однозначно.

Находим нормаль: способ 1 (система уравнений)

Способ 1 (система уравнений). Ищем уравнение плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ , подставляя три её точки:

Точка $D(0,0,0) \implies D = 0$ . Уравнение принимает вид $Ax + By + Cz = 0$ .
Точка $B(2,2,0) \implies 2A + 2B = 0 \implies A = -B$ .
Точка $C_1(0,2,4) \implies 2B + 4C = 0 \implies B = -2C$ .

Нормаль определена с точностью до множителя, поэтому фиксируем удобного представителя: пусть $C = -1$ . Тогда $B = 2$ , $A = -2$ . Нормаль $\vec n = \{-2, 2, -1\}$ — ненулевая. Уравнение плоскости $BDC_1$ : $-2x + 2y - z = 0$ , или $2x - 2y + z = 0$ .

Находим нормаль: способ 2 (векторное произведение)

Способ 2 (векторное произведение — быстрее). Нормаль одним действием:

\vec n = \overrightarrow{DB} \times \overrightarrow{DC_1} = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 4 \end{vmatrix} = \{2\cdot4 - 0\cdot2,\ \ 0\cdot0 - 2\cdot4,\ \ 2\cdot2 - 2\cdot0\} = \{8, -8, 4\}.

Это $4\cdot\{2,-2,1\}$ — пропорционально нормали из Способа 1. Плоскость через $D(0,0,0)$ : $2x - 2y + z = 0$ . Способ 2 экономит время и почти не даёт ошибиться со знаками.

Считаем расстояние

Найдём расстояние $d$ от точки $A_1(2, 0, 4)$ до плоскости $2x - 2y + z = 0$ :

d = \frac{|2\cdot2 - 2\cdot0 + 1\cdot4|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|4 + 4|}{\sqrt{9}} = \frac{8}{3}.

Пример 3. Двугранный угол / угол между плоскостями через нормали

Условие. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите двугранный угол между плоскостью сечения $BDC_1$ и плоскостью основания $ABCD$ .

Вводим систему координат

Двугранный угол между сечением BDC1 и основанием куба

Введём систему координат с началом $D(0,0,0)$ , оси вдоль рёбер $DA$ , $DC$ , $DD_1$ ; ребро куба примем равным $2$ . Нужные точки: $B(2,2,0)$ , $D(0,0,0)$ , $C_1(0,2,2)$ .

Находим нормали к обеим плоскостям

Нормаль к секущей плоскости $BDC_1$ — векторным произведением:

\vec n_1 = \overrightarrow{DB}\times\overrightarrow{DC_1} = \begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 2 & 2 & 0\\ 0 & 2 & 2\end{vmatrix} = \{2\cdot2-0\cdot2,\ \ 0\cdot0-2\cdot2,\ \ 2\cdot2-2\cdot0\} = \{4, -4, 4\}.

Сократим: $\vec n_1 = \{1, -1, 1\}$ , длина $|\vec n_1| = \sqrt{1+1+1} = \sqrt3$ .

Нормаль к основанию $ABCD$ (это плоскость $z=0$ ) очевидна: $\vec n_2 = \{0, 0, 1\}$ , $|\vec n_2| = 1$ .

Считаем косинус угла между плоскостями

Косинус угла между плоскостями (берём модуль — нужен острый угол):

\cos\varphi = \frac{|(\vec n_1, \vec n_2)|}{|\vec n_1|\,|\vec n_2|} = \frac{|1\cdot0 + (-1)\cdot0 + 1\cdot1|}{\sqrt3 \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt3} = \frac{\sqrt3}{3}.

Итак, $\varphi = \arccos\dfrac{\sqrt3}{3} \approx 54{,}7^\circ$ — это острый угол, что согласуется с чертежом (сечение «приподнято» над основанием).

Пример 4. Угол между прямой и плоскостью (синус!)

Условие. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между диагональю боковой грани $AB_1$ и плоскостью основания $ABCD$ .

Пример 5. Расстояние между скрещивающимися прямыми (смешанное произведение)

Условие. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $2$ найдите расстояние между скрещивающимися прямыми $AC_1$ (диагональ куба) и $BD$ (диагональ основания).

Координаты и векторы

Скрещивающиеся прямые AC1 и BD в кубе — общий перпендикуляр

Координаты (начало $D$ , ребро $2$ ): $A(2,0,0)$ , $C_1(0,2,2)$ , $B(2,2,0)$ , $D(0,0,0)$ .

Направляющие векторы прямых и вектор, соединяющий по точке с каждой:

\vec u = \overrightarrow{AC_1} = \{0-2,\ 2-0,\ 2-0\} = \{-2, 2, 2\},

\vec v = \overrightarrow{BD} = \{0-2,\ 0-2,\ 0-0\} = \{-2, -2, 0\},

\overrightarrow{AB} = \{2-2,\ 2-0,\ 0-0\} = \{0, 2, 0\} \quad (\text{точка } A \text{ на первой прямой, } B \text{ — на второй}).

Знаменатель: векторное произведение

Знаменатель — векторное произведение направляющих:

\vec u \times \vec v = \begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ -2 & 2 & 2\\ -2 & -2 & 0\end{vmatrix} = \{2\cdot0 - 2\cdot(-2),\ \ 2\cdot(-2) - (-2)\cdot0,\ \ (-2)(-2) - 2\cdot(-2)\} = \{4, -4, 8\}.

|\vec u \times \vec v| = \sqrt{4^2 + (-4)^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 16 + 64} = \sqrt{96} = 4\sqrt6.

Числитель: смешанное произведение

Числитель — модуль смешанного произведения $(\overrightarrow{AB}, \vec u, \vec v) = (\overrightarrow{AB},\ \vec u \times \vec v)$ :

(\overrightarrow{AB},\ \vec u \times \vec v) = 0\cdot4 + 2\cdot(-4) + 0\cdot8 = -8, \qquad |{-}8| = 8.

Считаем расстояние

Расстояние:

d = \frac{|(\overrightarrow{AB}, \vec u, \vec v)|}{|\vec u \times \vec v|} = \frac{8}{4\sqrt6} = \frac{2}{\sqrt6} = \frac{2\sqrt6}{6} = \frac{\sqrt6}{3}.

Метод базисных векторов (без координат)

Если фигура «косая» (например, произвольный или правильный тетраэдр, наклонная призма), вводить прямоугольную декартову систему координат крайне неудобно. В таком случае задачу решают через базисные векторы.

Выбираются три некомпланарных вектора (обычно выходящие из одной вершины), их длины и попарные углы известны. Любой другой вектор фигуры выражается через эту тройку. Скалярное произведение раскрывается по линейности, а скалярные произведения базисных векторов считаются через геометрическое определение $(\vec a,\vec b)=|\vec a||\vec b|\cos\varphi$ — поэтому важно не потерять ни одного члена при раскрытии и не считать базисные векторы перпендикулярными, если это не доказано.

Пример 6. Базисные векторы в тетраэдре

Условие. Дан тетраэдр $ABCD$ , в котором $AB = BC = CD = 2$ , а $AC = AD = BD = 2\sqrt{2}$ . Найдите угол между скрещивающимися прямыми $AB$ и $CD$ .

Вводим базис

Вводить прямоугольные координаты здесь сложно. Воспользуемся базисным методом. Пусть $\vec{x} = \vec{AB}$ , $\vec{y} = \vec{AC}$ , $\vec{z} = \vec{AD}$ — базис (три некомпланарных вектора из вершины $A$ ). Выразим вектор $\vec{CD}$ через базис: $\vec{CD} = \vec{AD} - \vec{AC} = \vec{z} - \vec{y}$ .

Выражаем косинус угла через базис

Нам нужен угол $\varphi$ между прямыми $AB$ и $CD$ (модуль — угол острый):

\cos \varphi = \frac{|(\vec{AB}, \vec{CD})|}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{CD}|} = \frac{|(\vec{x},\ \vec{z} - \vec{y})|}{2 \cdot 2} = \frac{|(\vec{x}, \vec{z}) - (\vec{x}, \vec{y})|}{4}.

(Здесь $|\vec{CD}| = CD = 2$ . Раскрыли скобку по линейности — оба члена сохранены.)

Находим скалярные произведения базисных векторов

Найдём скалярные произведения базисных векторов через геометрическое определение.

1) $(\vec{x}, \vec{y})$ . Рассмотрим $\triangle ABC$ : $AB = 2$ , $BC = 2$ , $AC = 2\sqrt{2}$ . Так как $AB^2 + BC^2 = 4 + 4 = 8 = (2\sqrt{2})^2 = AC^2$ , по обратной теореме Пифагора $\angle ABC = 90^\circ$ , то есть $\vec{BA} \perp \vec{BC}$ , значит $(\vec{BA}, \vec{BC}) = 0$ . Выразим через базис: $\vec{BA} = -\vec x$ , $\vec{BC} = \vec{AC}-\vec{AB} = \vec y - \vec x$ . Тогда

(-\vec{x},\ \vec{y} - \vec{x}) = 0 \implies -(\vec{x}, \vec{y}) + |\vec{x}|^2 = 0 \implies (\vec{x}, \vec{y}) = |\vec{x}|^2 = 4.

2) $(\vec{x}, \vec{z})$ . Рассмотрим $\triangle ABD$ : $AB = 2$ , $AD = 2\sqrt{2}$ , $BD = 2\sqrt{2}$ . По теореме косинусов для стороны $BD$ :

BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2\,AB\cdot AD\,\cos\angle BAD,

8 = 4 + 8 - 2\cdot 2\cdot 2\sqrt{2}\,\cos\angle BAD \implies 8\sqrt{2}\,\cos\angle BAD = 4 \implies \cos\angle BAD = \frac{1}{2\sqrt{2}}.

Тогда $(\vec{x}, \vec{z}) = |\vec{x}|\cdot|\vec{z}|\cos\angle BAD = 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{2}} = 2$ .

Подставляем и находим угол

Подставим в исходную формулу:

\cos \varphi = \frac{|(\vec{x}, \vec{z}) - (\vec{x}, \vec{y})|}{4} = \frac{|2 - 4|}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.

Следовательно, угол равен $60^\circ$ .

Координаты и векторы на плоскости (планиметрия)

Тема называется «координаты и векторы» широко, и метод координат отлично работает и в планиметрии: достаточно ввести оси так, чтобы прямые углы фигуры легли на них. Базовые формулы — двумерные аналоги пространственных (см. также справочник, раздел 8 «Координаты на плоскости»).

ВАЖНОЕ

Координаты на плоскости

Расстояние между точками $A(x_1,y_1)$ и $B(x_2,y_2)$ :

|AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}.

Середина $AB$ : $\ M = \left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\ \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$ ; точка деления в отношении $\lambda:\mu$ — как в пространстве. Прямая: $\ Ax + By + C = 0$ , нормаль $\{A,B\}$ ; расстояние от точки $M_0$ до прямой:

d(M_0,\ell) = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2+B^2}}.

Угол между прямыми (направляющие $\vec u, \vec v$ ): $\ \cos\alpha = \dfrac{|(\vec u,\vec v)|}{|\vec u|\,|\vec v|}$ . Площадь треугольника через «двумерное векторное произведение» (псевдоскаляр):

S = \tfrac12\,\big|\,(x_B-x_A)(y_C-y_A) - (y_B-y_A)(x_C-x_A)\,\big|.

Пример 7. Угол между прямыми в квадрате (метод координат на плоскости)

Условие. В квадрате $ABCD$ со стороной $1$ точка $M$ — середина стороны $BC$ . Найдите косинус угла между прямыми $AM$ и $BD$ .

Частые ошибки

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря модуля при поиске угла между прямыми/плоскостями

Ошибка: Вычислить скалярное произведение, получить отрицательное число, например $\cos \varphi = -\dfrac{1}{2}$ , и записать в ответ угол $120^\circ$ . Правильно: Угол между прямыми и между плоскостями по определению острый (или прямой). Обязательно ставь знак модуля в числителе: $\cos \varphi = \dfrac{|(\vec{a}, \vec{b})|}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ . Векторы могут образовывать тупой угол, а прямые — нет.

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Синус и косинус для угла прямая–плоскость

Ошибка: Для угла между прямой и плоскостью подставить формулу с косинусом $\cos\alpha = \dfrac{|(\vec u,\vec n)|}{|\vec u||\vec n|}$ и записать получившийся угол как ответ. Правильно: В этой формуле слева стоит синус: $\sin\alpha = \dfrac{|(\vec u,\vec n)|}{|\vec u||\vec n|}$ , потому что $\vec n$ — нормаль, а не направляющий вектор плоскости. Если по ошибке взять косинус, получится угол между прямой и нормалью ( $90^\circ - \alpha$ ), а не искомый.

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Направляющий вектор прямой вместо радиус-вектора точки

Ошибка: Для угла или расстояния взять координаты точки $M(2,1,2)$ как «вектор $\{2,1,2\}$ » вместо направляющего вектора прямой. Правильно: Направляющий вектор прямой $PQ$ — это $\overrightarrow{PQ} = \{x_Q-x_P,\ y_Q-y_P,\ z_Q-z_P\}$ (конец минус начало). Радиус-вектор одной точки задаёт направление только от начала координат — для произвольной прямой он неверен.

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря члена при раскрытии скалярного произведения в базисе

Ошибка: Раскрывая $(\vec x,\ \vec z - \vec y)$ , оставить только $(\vec x,\vec z)$ и «забыть» $-(\vec x,\vec y)$ ; либо считать базисные векторы перпендикулярными ( $(\vec x,\vec y)=0$ ) без доказательства. Правильно: Скалярное произведение линейно: $(\vec x,\ \vec z - \vec y) = (\vec x,\vec z) - (\vec x,\vec y)$ — оба члена обязательны. Скалярные произведения базисных векторов считаются через $(\vec a,\vec b)=|\vec a||\vec b|\cos\varphi$ и в косой фигуре, как правило, не равны нулю.

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Произвольный выбор начала координат без описания осей

Ошибка: Сразу написать $A(0,0,0)$ и $B(1,2,0)$ без чертежа и текстового пояснения о том, как направлены оси. За это снимают баллы за недостаточность обоснования. Правильно: Чётко прописывать: «Пусть начало координат находится в точке $A$ , ось $Ox$ сонаправлена с $\vec{AB}$ , ось $Oy$ — с $\vec{AD}$ ...» — и убедиться, что выбранные направления попарно перпендикулярны (отметить оси на рисунке).

Оформление под рубрику ДВИ

ДВИ оценивают по outcomes-рубрике «±»: важен не только верный ответ, но и полнота обоснования. В координатно-векторных задачах баллы теряют не на арифметике, а на пропущенных «очевидных» переходах. Ниже — что считается полным решением.

АЛГОРИТМ

Эталон полного решения координатным методом

Введи систему координат словами и обоснуй ортогональность осей: «рёбра $DA, DC, DD_1$ попарно перпендикулярны (грани прямоугольны), поэтому направим оси вдоль них». Это и есть доказательство, что базис ортонормирован в данной фигуре.
Выпиши координаты всех нужных точек, а нетривиальные (середины, центры граней, точки деления) — со ссылкой на формулу: « $N$ — центр грани = середина её диагонали».
Назови векторы/нормали явно: направляющий вектор прямой = конец минус начало; нормаль = $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$ или из системы (отметив, что три точки не коллинеарны и нормаль ненулевая).
Применяй формулу с правильной тригонометрией: угол прямых/плоскостей — cos с модулем; угол прямая–плоскость — sin с модулем; расстояние — модуль в числителе.
Запиши ответ в требуемой форме (см. ниже) и проверь разумность: угол в $[0^\circ;90^\circ]$ , расстояние положительно, подстановка точек в уравнение плоскости даёт ноль.

СОВЕТ

Форма ответа: косинус или градусы?

Если в условии просят «найдите угол» — доводи до величины: $\varphi = \arccos\dfrac{\sqrt3}{3}$ или $\alpha = 45^\circ$ (если угол табличный). Если просят «найдите косинус (синус, тангенс) угла» — оставляй именно это значение, не переводя в градусы. Сверяйся с формулировкой: в Примере 1 просили косинус (ответ $\tfrac{2\sqrt{30}}{15}$ ), в Примерах 3–4 — угол (ответ через $\arccos$ или в градусах). Несоответствие форме ответа рубрика трактует как неполноту.

ЧАСТАЯ ОШИБКА

За что снимают «±» в координатных задачах

Координаты введены, но оси не описаны словами / не обоснована их перпендикулярность — частичный балл.
Нетривиальная точка (центр грани, точка деления) взята без обоснования её координат.
Перепутаны sin/cos в угле прямая–плоскость, или потерян модуль (угол вышел тупым, расстояние отрицательным).
Нормаль найдена, но не отмечено, что она ненулевая и что три точки не коллинеарны.
Ответ дан не в той форме, что требует условие (косинус вместо угла или наоборот).

Что запомнить

Много прямых углов (куб, призма, прямоугольный параллелепипед) — бери декартовы координаты. Косая фигура (тетраэдр, наклонная призма) — базис из трёх векторов.
Нормаль к плоскости ищи через $\vec n = \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$ за один шаг; система $Ax+By+Cz+D=0$ — надёжная альтернатива (нормаль определена с точностью до множителя, потому коэффициент можно зафиксировать).
Три угла: прямые → $\cos = \dfrac{|(\vec u,\vec v)|}{|\vec u||\vec v|}$ ; прямая–плоскость → $\sin = \dfrac{|(\vec u,\vec n)|}{|\vec u||\vec n|}$ (синус!); плоскости → $\cos = \dfrac{|(\vec n_1,\vec n_2)|}{|\vec n_1||\vec n_2|}$ .
Расстояния: до плоскости → $\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ ; между скрещивающимися → $\dfrac{|(\overrightarrow{AB},\vec u,\vec v)|}{|\vec u\times\vec v|}$ .
Метод координат работает и в планиметрии — вводи оси вдоль перпендикулярных сторон, дальше те же формулы в 2D.
Везде, где ищешь угол между прямыми/плоскостями, — модуль в числителе; расстояние — тоже под модулем.

Стратегия на ДВИ

СОВЕТ

Экзаменационная тактика

Выбор метода — половина успеха в номере 7. Потрать $2-3$ минуты на оценку: легко ли найти классическое сечение? Если нет, но длины рёбер даны (или их можно обозначить за $a$ ) и в фигуре есть прямые углы — переходи в координаты; если фигура косая — в базис.
Лист формул не выдают: перед экзаменом убедись, что помнишь сводку «три угла + два расстояния» и формулу нормали через векторное произведение. Мнемоника для расстояния до плоскости — «нормаль скалярно на вектор к точке, делённое на длину нормали».
Если ищешь расстояние от точки до плоскости через объёмы ( $h = \tfrac{3V}{S}$ ), проверь себя координатным методом, если останется время. Два независимых пути с совпавшим ответом — гарантия правильности.
Всегда проверяй уравнение плоскости: после того как нашёл $A, B, C, D$ , мысленно подставь координаты всех трёх исходных точек. Ошибка в знаке на этом этапе стоит всей задачи.

Проверь себя

Для угла между прямой и плоскостью (направляющая $\vec u$ , нормаль $\vec n$ ) формула $\dfrac{|(\vec u,\vec n)|}{|\vec u|\,|\vec n|}$ равна...
Чему равна нормаль к плоскости, проходящей через точки $A$ , $B$ , $C$ , найденная одним действием?
Даны $\vec u = \{0, 1, 2\}$ и $\vec v = \{1, 2, 1\}$ . Косинус угла между прямыми с такими направляющими равен...
Расстояние от точки $M_0(1, 0, 2)$ до плоскости $2x - 2y + z = 0$ равно...

Расстояния, углы, координаты и векторы

Когда стоит применять векторы и координаты

Векторы в координатах: длина, скалярное произведение, угол

Координаты середины и точки деления отрезка

Плоскости, нормаль и расстояние до плоскости

Векторное и смешанное произведение

Три типа углов и два типа расстояний (сводка)

Алгоритм решения в координатах

Примеры решений

Вводим систему координат

Находим координаты точек

Составляем направляющие векторы и их длины

Считаем косинус угла

Вводим систему координат и находим точки

Находим нормаль: способ 1 (система уравнений)

Находим нормаль: способ 2 (векторное произведение)

Считаем расстояние

Вводим систему координат

Находим нормали к обеим плоскостям

Считаем косинус угла между плоскостями

Координаты и нормаль основания

Направляющий вектор прямой

Считаем синус угла

Координаты и векторы

Знаменатель: векторное произведение

Числитель: смешанное произведение

Считаем расстояние

Метод базисных векторов (без координат)

Вводим базис

Выражаем косинус угла через базис

Находим скалярные произведения базисных векторов

Подставляем и находим угол

Координаты и векторы на плоскости (планиметрия)

Вводим координаты

Векторы, длины и скалярное произведение

Считаем косинус угла

Частые ошибки

Оформление под рубрику ДВИ

Что запомнить

Стратегия на ДВИ