Часть 1, задание 3: Модуль -- уравнения и неравенства

Содержание

Задание 3 базовой части ДВИ
Какие темы встречаются
Главные формулы и приёмы
Разбор примеров
Типичные ошибки
Чек-лист

Задание 3 базовой части ДВИ

Третье задание базовой части — модуль. Уравнение или неравенство, в котором стоит хотя бы один знак $|\ldots|$ либо квадрат, который к модулю сводится. Итог во всех 12 задачах банка — одно число.

[!] Работа всё равно письменная. У ДВИ нет части с кратким ответом: обе части сдаются с решением, и короткий числовой итог должен быть получен обоснованным ходом.

И вот здесь особенность слота. Само уравнение почти никогда не имеет ровно одного корня, а неравенство вообще задаёт целый промежуток. Поэтому условие всегда доносит, как свернуть найденное множество в одно число: «произведение всех корней», «наибольший корень», «длину максимального промежутка», «сумму всех целых решений», «число целых решений». Правило свёртки несут все 12 задач: в десяти оно приписано отдельной фразой после «решите», а в двух (18642, 21002) вшито прямо в вопрос.

Второе наблюдение важнее первого. Классический алгоритм «разбить прямую на промежутки, на каждом раскрыть модуль со своим знаком, решить, отобрать» в этом слоте не нужен ни разу. Все 12 задач построены на трёх коротких рассуждениях о знаке.

Какие темы встречаются

Разбор всех 12 задач слота даёт четыре сюжета. Первые три покрывают 11 задач и различаются одним вопросом: где именно спрятана неотрицательность.

Сумма неотрицательных равна нулю — 4 задачи из 12 (18595, 18610, 18625, 20719). Слева сумма двух модулей (или модуля и квадратного корня), справа ноль. Каждое слагаемое неотрицательно, значит оба обязаны обратиться в ноль одновременно — задача превращается в систему из двух обычных уравнений, а ответ ищется в пересечении их корней.
Сравнение квадратов двух линейных выражений — 4 задачи из 12 (18590, 18605, 18620, 21002). Модуля в записи нет вовсе: дано $(ax+b)^2 \leqslant (cx+d)^2$ . Разность квадратов раскладывается на множители, и остаётся школьное квадратное неравенство. В ответе — длина отрезка (три задачи) или количество целых точек (21002).
Произведение, где один множитель заведомо положителен — 3 задачи из 12 (18589, 18604, 18619). Дано $\bigl(|ax+b| - m\bigr)\bigl(|cx+d| + n\bigr)=0$ . Скобка вида $|u| + n$ при $n>0$ в ноль не обращается никогда, поэтому всё сводится к $|u| = m$ .
Неравенство $|u| \leqslant v$ с переменной в правой части — 1 задача из 12 (18642). Единственная в слоте, где справа от модуля стоит не число, а выражение с $x$ .

ЗАМЕЧАНИЕ

Чего в слоте нет

Ни одной задачи, где модуль пришлось бы раскрывать перебором промежутков. Нет вложенных модулей вида $\bigl||x|-3\bigr|$ , нет уравнений $|f(x)| = |g(x)|$ в явном виде, нет графических рассуждений и нет параметра.

Нет и неравенства $|u| \geqslant v$ : в задачах с модулем встречается только знак $\leqslant$ (строгий $>$ есть один раз, но в задаче про сравнение квадратов — 21002). Метод для «больше» знать надо, но тренироваться на этом слоте именно на нём — мимо.

Главные формулы и приёмы

Листа справочных материалов на ДВИ не выдают. Ниже — весь инструмент, которого хватает на 12 задач из 12.

ВАЖНОЕ

Модуль: определение и то, что из него следует

|u| = \begin{cases} u, & u \geqslant 0,\\ -u, & u < 0,\end{cases} \qquad\text{откуда}\qquad |u| \geqslant 0 \ \text{ всегда}.

Три следствия, на которых стоит весь слот:

|u| = 0 \iff u = 0, \qquad |u| = c \ (c>0) \iff u = c \ \text{ или } \ u = -c, \qquad \sqrt{u^2} = |u|.

И четвёртое, техническое: если $n > 0$ , то $|u| + n \geqslant n > 0$ — такое выражение в ноль не обратить ничем.

ВАЖНОЕ

Сумма неотрицательных равна нулю

Если $f(x) \geqslant 0$ и $g(x) \geqslant 0$ при всех допустимых $x$ , то

f(x) + g(x) = 0 \iff \begin{cases} f(x) = 0,\\ g(x) = 0.\end{cases}

Это система, а не совокупность: нужны значения, обращающие в ноль оба слагаемых сразу. Практически — решаешь два уравнения по отдельности и берёшь пересечение списков корней. В задаче 18610 первое даёт $\{2;\,5\}$ , второе — $\{5;\,-2\}$ , общий корень один: $x=5$ .

Роль неотрицательного слагаемого играет не только модуль. В задаче 20719 первым слагаемым стоит $\sqrt{25-x^2}$ — арифметический квадратный корень тоже неотрицателен, и схема работает буква в букву. Годится и полный квадрат $(\ldots)^2$ .

ВАЖНОЕ

Сравнение квадратов: разность квадратов вместо модулей

a^2 \leqslant b^2 \iff a^2 - b^2 \leqslant 0 \iff (a-b)(a+b) \leqslant 0.

Здесь $a$ и $b$ — линейные выражения, поэтому обе скобки тоже линейны, и всё сводится к квадратному неравенству. Тот же переход можно записать через модули: $a^2 \leqslant b^2 \iff |a| \leqslant |b|$ , но раскладывать на множители быстрее и безошибочнее.

Числовые множители выносим осторожно. В задаче 18620 получается $(2x-8)(4x-6) \leqslant 0$ ; выносим $2$ и $2$ , их произведение $4>0$ , знак не меняется, остаётся $(x-4)(2x-3) \leqslant 0$ . Если бы общий множитель оказался отрицательным, знак пришлось бы перевернуть.

ВАЖНОЕ

Модуль под знаком неравенства

|u| \leqslant v \iff -v \leqslant u \leqslant v, \qquad\qquad |u| \geqslant v \iff \bigl[\, u \geqslant v \ \text{ или } \ u \leqslant -v \,\bigr].

В первой равносильности не надо ничего оговаривать про знак $v$ : если $v<0$ , двойное неравенство несовместно и само сообщает, что решений нет. Так устроена задача 18642 — правая часть $x+6$ зависит от $x$ , но разбирать случаи не приходится. Технически двойное неравенство — система: решаешь левую часть, решаешь правую, берёшь пересечение.

ВАЖНОЕ

Как свернуть ответ в одно число

Формы ответа в слоте ровно пять:

произведение всех корней — перемножь все найденные, включая отрицательные (18589, 18604, 18619);
наибольший корень — если корень остался один, он же и наибольший (18595, 18610, 18625, 20719);
длина максимального промежутка — для отрезка $[p;\,q]$ это $q-p$ , открытость концов длину не меняет (18590, 18605, 18620);
сумма всех целых решений (18642) и число целых решений (21002) — перечисли целые точки промежутка и сложи либо посчитай.

Разница принципиальна: для отрезка $[-1;\,4]$ длина равна $5$ , целых точек $6$ , а их сумма $9$ — три разных числа для одного множества решений.

Разбор примеров

Пример 1. Задача 18604

Решите уравнение

\bigl(|2x-3|-5\bigr)\bigl(|7x+2|+3\bigr)=0.

Если уравнение имеет более одного корня, то в ответ запишите произведение всех корней.

Пример 2. Задача 18610

Решите уравнение

\left|x^2-7x+10\right|+\left|x^2-3x-10\right|=0.

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите наибольший корень.

Пример 3. Задача 18620

Решите неравенство

(3x-7)^2 \leqslant (x+1)^2.

В ответ запишите длину максимального промежутка числовой оси, все значения переменной $x$ на котором удовлетворяют неравенству.

Пример 4. Задача 18642

Найдите сумму всех целых решений неравенства

|3x-2| \leqslant x+6.

Пример 5. Задача 20719

Решите уравнение

\sqrt{25-x^2}+\left|x^2+6x+5\right|=0.

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите наибольший корень.

Типичные ошибки

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Сумма модулей равна нулю: объединил корни вместо пересечения

Ошибка: в задаче 18610 решить оба квадратных уравнения и объявить корнями исходного все найденные числа $2$ , $5$ , $-2$ .

Правильно: «сумма равна нулю» даёт систему, ответ — пересечение списков. В 18610 наибольшее в объединении совпадает с правильным ответом по случайности, а 20719 наказывает сразу: пересечение $\{5;\,-5\}$ и $\{-1;\,-5\}$ даёт $-5$ , а объединение — «наибольший корень $5$ », то есть неверный ответ противоположного знака.

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Сократил на скобку или снял квадрат без модуля

Ошибка: из $(3x-7)^2 \leqslant (x+1)^2$ «извлечь корень» и написать $3x-7 \leqslant x+1$ .

Правильно: $\sqrt{t^2} = |t|$ , поэтому корректный переход — $|3x-7| \leqslant |x+1|$ . Прямой даёт луч $x \leqslant 4$ вместо отрезка $\left[\dfrac32;\,4\right]$ : неограниченное множество вместо длины $2{,}5$ . Надёжный путь — перенести всё влево и разложить разность квадратов.

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Записал одно число без выкладок

Ошибка: увидеть, что уравнение простое, посчитать корни в уме и написать в работе только « $-4$ ».

Правильно: базовая часть ДВИ письменная, голое число не засчитывается, даже если оно верное. Здесь достаточно четырёх строк, но они обязаны быть: почему вторая скобка не обращается в ноль, оба случая раскрытия модуля, оба корня и явное перемножение. В задачах на сумму неотрицательных к этому добавляется фраза про пересечение — иначе непонятно, почему из четырёх найденных чисел взято одно.

Чек-лист

АЛГОРИТМ

Перед тем как записать ответ

Подчеркнул хвост условия? Произведение корней, наибольший корень, длина промежутка, сумма целых, количество целых — знай это до решения.
Проверил, может ли множитель обратиться в ноль? Скобка вида $|u| + n$ при $n>0$ положительна всегда.
Сумма неотрицательных равна нулю — записал систему? Ответ — пересечение списков корней, а не объединение.
Помнишь, что неотрицателен не только модуль? Квадратный корень и полный квадрат работают в той же схеме.
Квадраты сравниваешь через разность квадратов? Перенести влево, разложить $(a-b)(a+b)$ , а не «извлекать корень» из обеих частей.
Вынес числовой множитель — проверил его знак? Положительный знак неравенства не меняет, отрицательный переворачивает.
Для $|u| \leqslant v$ решил обе половины двойного неравенства? Ответ — пересечение двух промежутков.
Границы учёл по строгости знака? При $\leqslant$ концы входят, при $<$ — нет; на количество целых точек это влияет напрямую.
Записал ход, а не только результат? Работа письменная: нужны рассуждение о знаке, оба случая раскрытия модуля и обоснование отбора.
Свернул множество решений в требуемое число? Найти решения — половина дела.

Проверь себя

При каких $x$ обращается в ноль выражение $|5x+4|+2$ ?
Уравнение $|f(x)|+|g(x)|=0$ равносильно...
Чему равносильно неравенство $(2x-1)^2 \leqslant (x+3)^2$ ?
Решение неравенства — отрезок $[-1;\,4]$ . Сколько на нём целых точек?

Часть 1, задание 3: Модуль -- уравнения и неравенства

Задание 3 базовой части ДВИ

Какие темы встречаются

Главные формулы и приёмы

Разбор примеров

Смотрим на вторую скобку

Остаётся первая скобка

Раскрываем модуль

Читаем хвост условия

Оба слагаемых неотрицательны

Решаем по отдельности

Берём пересечение, а не объединение

Ответ

Переносим влево и раскладываем разность квадратов

Упрощаем скобки

Решаем квадратное неравенство

Считаем длину

Заменяем модуль двойным неравенством

Обе половины

Пересекаем и отбираем целые

Неотрицательность даёт не только модуль

Решаем оба уравнения

Пересечение

Ответ

Типичные ошибки

Чек-лист