Часть 2, задание 1: Вычисления и преобразования

Выделяем полные квадраты под корнями

Обозначим подлогарифмическое выражение через $A$: $A = \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} - \sqrt{5 - 2\sqrt{6}}$.

Заметим, что $5 + 2\sqrt{6} = 3 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} + 2 = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$. Аналогично, $5 - 2\sqrt{6} = (\sqrt{3} - \sqrt{2})^2$.

Подставим это в выражение для $A$: $A = \sqrt{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2} - \sqrt{(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2}$.

Извлекаем корни через модуль

Извлекаем корни, используя тождество $\sqrt{x^2} = |x|$: $A = |\sqrt{3} + \sqrt{2}| - |\sqrt{3} - \sqrt{2}|$.

Так как $\sqrt{3} > 0$ и $\sqrt{2} > 0$, первое подмодульное выражение положительно. Так как $\sqrt{3} > \sqrt{2}$, второе подмодульное выражение также положительно. Раскрываем модули со знаком «плюс»: $A = (\sqrt{3} + \sqrt{2}) - (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = \sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.

Вычисляем логарифм

Теперь вычислим логарифм: $\log_2 A = \log_2 (2\sqrt{2}) = \log_2 (2^1 \cdot 2^{1/2}) = \log_2 (2^{3/2}) = \dfrac{3}{2} = 1{,}5$.

Применяем формулу приведения

Применим формулу приведения $\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos \alpha$. Тогда выражение примет вид: $10 \cos\left( 2\arctg \dfrac{1}{3} \right)$.

Вводим угол через арктангенс

Пусть $\alpha = \arctg \dfrac{1}{3}$. По определению арктангенса $\alpha \in \left(0;\, \dfrac{\pi}{2}\right)$, при этом $\tg \alpha = \dfrac{1}{3}$. Нам нужно вычислить $10 \cos 2\alpha$.

Считаем косинус двойного угла через тангенс

Используем формулу выражения косинуса двойного угла через тангенс: $\cos 2\alpha = \dfrac{1 - \tg^2 \alpha}{1 + \tg^2 \alpha}$.

Подставляем $\tg \alpha = \dfrac{1}{3}$: $\cos 2\alpha = \dfrac{1 - \dfrac{1}{9}}{1 + \dfrac{1}{9}} = \dfrac{\dfrac{8}{9}}{\dfrac{10}{9}} = \dfrac{8}{10} = 0{,}8$.

Умножаем результат на $10$: $10 \cdot 0{,}8 = 8$.

Переходим к общему основанию

Это произведение логарифмов с «цепочкой» оснований. Переведём каждый логарифм к общему основанию (натуральному или, например, $2$) по формуле перехода $\log_a b = \dfrac{\ln b}{\ln a}$:

Сокращаем цепочку

Числители и знаменатели соседних дробей сокращаются по цепочке ($\ln 3$, $\ln 4$, $\ln 5$ уходят):

Короткий путь через следствие

То же короче — по следствию $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$, применённому трижды:

Узнаём формулу суммы кубов

«В лоб» возводить $7{,}5^3$ и $2{,}5^3$ в куб не нужно — узнаём формулу суммы кубов. Обозначим $a = 7{,}5$, $b = 2{,}5$. Тогда числитель — это $a^3 + b^3$, а знаменатель — $a^2 - ab + b^2$. По формуле сокращённого умножения:

Сокращаем дробь и считаем

Значит, дробь сокращается на множитель $a^2 - ab + b^2$ (он положителен, в ноль не обращается):

Подставляем числа:

Вводим углы и находим косинусы

Обозначим $\alpha = \arcsin \dfrac{5}{13}$ и $\beta = \arcsin \dfrac{12}{13}$. По определению арксинуса оба угла лежат в первой четверти: $\alpha, \beta \in \left(0;\, \dfrac{\pi}{2}\right)$, причём

(Косинусы взяты со знаком «плюс», так как углы в первой четверти.)

Считаем синус суммы

Найдём синус суммы по формуле сложения:

Обосновываем значение угла

Значит, $\sin(\alpha+\beta) = 1$. Осталось обосновать, какому именно углу это соответствует. Так как $\alpha,\beta \in \left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)$, то их сумма лежит в интервале $(0;\, \pi)$. На этом интервале синус равен $1$ только в точке $\dfrac{\pi}{2}$. Следовательно,

Замечаем, что нужна поправка

Здесь $x = 2$, $y = 3$, и произведение $xy = 6 > 1$ — значит, прямая подстановка в формулу даст «неправильную ветвь», нужна поправка $+\pi$. Покажем это аккуратно.

Оцениваем, в какой четверти лежит сумма

Пусть $S = \arctg 2 + \arctg 3$. Оба слагаемых лежат в $\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)$, причём каждое больше $\dfrac{\pi}{4}$ (так как $2 > 1$ и $3 > 1$). Поэтому

Считаем тангенс суммы

Найдём тангенс суммы по формуле сложения:

Отбираем угол во второй четверти

Итак, $\tg S = -1$, и при этом $S$ лежит во второй четверти. Угол второй четверти с тангенсом $-1$ — это $\dfrac{3\pi}{4}$ (а не $-\dfrac{\pi}{4}$, который дала бы формула без поправки). Следовательно,

Записываем повышения как коэффициенты

Повышение на $p\%$ — это умножение на коэффициент $\left(1 + \dfrac{p}{100}\right)$. Пусть первоначальная цена $S_0$.

После первого повышения цена стала $S_1 = S_0 \cdot 1{,}1$. После второго — $S_2 = S_1 \cdot 1{,}2 = S_0 \cdot 1{,}1 \cdot 1{,}2$.

Перемножаем коэффициенты

Вычислим общий коэффициент:

Значит, итоговая цена составляет $132\%$ от первоначальной, то есть больше на $32\%$.