Окружность

Содержание

Суть темы
Основные формулы и теоремы
Вписанные и описанные четырёхугольники
Касающиеся окружности
Метод координат для окружности
Примеры задач
Высокий уровень: окружность как геометрическое место точек
Частые ошибки
Оформление под рубрику ДВИ
Что запомнить
Стратегия на ДВИ

Суть темы

Задачи на окружности в чистом виде (без привязки к треугольникам или многоугольникам) на ДВИ встречаются редко. Чаще всего окружность выступает как инструмент: она задаёт равные вписанные углы, генерирует подобные треугольники через пересекающиеся хорды или позволяет использовать метрические соотношения для касательных. Именно поэтому самые ценные на ДВИ связки — это окружность + четырёхугольник (критерии вписанности/описанности, Птолемей) и окружность + тригонометрия (мост «угол ↔ длина» через $2R\sin$ ). Им ниже уделено отдельное место.

Главный принцип решения планиметрии на мехмате и ВМК — сведение сложной конструкции к базовым фигурам. Окружность идеально для этого подходит, так как её свойства связывают длины отрезков и величины углов через подобие. Альтернативный надёжный путь для сильной аудитории (ВМК, эконом) — метод координат: уравнение окружности превращает геометрию в алгебру.

Основные формулы и теоремы

Лист с формулами на экзамене не выдают, поэтому все базовые метрические соотношения нужно знать наизусть. Опорные формулы по теме собраны в справочнике (раздел «Окружность» и «Четырёхугольники») — ниже мы их не только выписываем, но и показываем идею вывода, потому что проверяющий ценит обоснование, а не только готовую формулу.

СОВЕТ

Идея вывода теоремы о вписанном угле

Проверяющий любит, когда абитуриент понимает, откуда берётся факт. Разбери случай, когда одна сторона вписанного угла $\angle BAC$ проходит через центр $O$ . Тогда $\triangle OAC$ равнобедренный ( $OA = OC = R$ ), значит $\angle OAC = \angle OCA = \beta$ . Центральный угол $\angle BOC$ — внешний для $\triangle OAC$ , поэтому $\angle BOC = \angle OAC + \angle OCA = 2\beta$ , то есть $\alpha = 2\beta$ . Общий случай (центр внутри или вне угла) сводится к этому сложением или вычитанием двух таких углов.

Следствия из этого факта:

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу (или на равные дуги), равны.
Вписанный угол равен $90^\circ$ тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр.
Угол между касательной и хордой, проведённой из точки касания, равен половине угловой величины дуги, стягиваемой этой хордой (и равен вписанному углу, опирающемуся на эту дугу).

ЗАМЕЧАНИЕ

Степень точки (со знаком)

Обе эти теоремы — частные случаи понятия «степень точки относительно окружности». Если $d$ — расстояние от точки до центра, $R$ — радиус, то степень точки равна $d^2 - R^2$ со знаком:

для внутренней точки $d < R$ , степень $d^2 - R^2 < 0$ — это случай пересекающихся хорд;
для внешней точки $d > R$ , степень $d^2 - R^2 > 0$ и равна $PA^2$ (квадрату касательной).

Произведения отрезков равны модулю степени $|d^2 - R^2|$ — но именно знак различает теорему о хордах и теорему о касательной-секущей. Помнить про знак полезно: он сразу говорит, внутри точка или снаружи.

ВАЖНОЕ

Угол между секущими, хордами и касательными

Величина угла зависит от того, где находится вершина:

Вершина внутри окружности (две пересекающиеся хорды): угол равен полусумме двух дуг — той, на которую он опирается, и противоположной (вертикальной):

\angle = \frac{\smile_1 + \smile_2}{2}.

Вершина вне окружности (две секущие, секущая и касательная или две касательные): угол равен полуразности большей и меньшей высекаемых дуг:

\angle = \frac{\smile_{\text{больш}} - \smile_{\text{меньш}}}{2}.

Вписанный угол (вершина на окружности) — половина дуги, частный случай при стремлении одной дуги к нулю.

Это семейство — прямое продолжение теоремы о вписанном угле и постоянный источник потери случая: формула «внутри» и «снаружи» разная.

Угол между секущими: внутренняя и внешняя точка

ВАЖНОЕ

Тригонометрический мост: длина хорды через вписанный угол

Теорема синусов для треугольника, вписанного в окружность радиуса $R$ :

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R.

Отсюда главная связка «угол ↔ длина»: хорда равна $2R$ на синус опирающегося на неё вписанного угла:

\text{хорда} = 2R\sin\varphi,

где $\varphi$ — любой вписанный угол, опирающийся на эту хорду (все они равны). В частности, диаметр $= 2R =$ хорда, видимая под прямым углом.

Для вычисления площадей частей круга необходимо строго следить за тем, в каких единицах задан угол.

Вписанные и описанные четырёхугольники

Это ядро планиметрии ДВИ: «чистая» окружность редка, а вот окружность в связке с четырёхугольником встречается постоянно. Два критерия и теорема Птолемея — обязательный минимум (см. справочник, раздел «Четырёхугольники»).

ВАЖНОЕ

Критерий вписанного четырёхугольника

Выпуклый четырёхугольник $ABCD$ можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны $180^\circ$ :

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^\circ.

Эквивалентная формулировка (часто удобнее в задачах): четырёхугольник вписанный $\iff$ две его вершины видят отрезок (сторону или диагональ) под равными углами, лежа по одну сторону от него — например $\angle BAC = \angle BDC$ (углы опираются на одну дугу $BC$ ).

Вписанный четырёхугольник и теорема Птолемея

Пример 4. Вписанный четырёхугольник + теорема Птолемея

Равносторонний треугольник $ABC$ вписан в окружность. На дуге $BC$ , не содержащей вершину $A$ , взята точка $P$ . Известно, что $BP = 3$ , $CP = 5$ . Найдите сторону треугольника $ABC$ и длину отрезка $AP$ .

Замечаем вписанный четырёхугольник

Обозначим сторону треугольника $a = AB = BC = CA$ . Точка $P$ лежит на окружности, поэтому $ABPC$ — вписанный четырёхугольник (вершины в порядке обхода $A, B, P, C$ ).

Сначала найдём $a$ из треугольника $BPC$ . Четырёхугольник $ABPC$ вписанный, поэтому его противоположные углы $\angle A$ и $\angle BPC$ в сумме дают $180^\circ$ . Так как $\angle A = 60^\circ$ (треугольник равносторонний), то $\angle BPC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ .

Равносторонний треугольник, точка на дуге, Птолемей

Находим сторону по теореме косинусов

По теореме косинусов в треугольнике $BPC$ (сторона $BC = a$ напротив угла $\angle BPC = 120^\circ$ , $\cos 120^\circ = -\tfrac{1}{2}$ ):

a^2 = BP^2 + CP^2 - 2\cdot BP\cdot CP\cdot\cos 120^\circ = 9 + 25 - 2\cdot 3\cdot 5\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) = 34 + 15 = 49.

Значит, $a = 7$ .

Применяем теорему Птолемея

Теперь применим теорему Птолемея к вписанному четырёхугольнику $ABPC$ . Его диагонали — это $AP$ и $BC$ , а пары противоположных сторон — $(AB, PC)$ и $(BP, AC)$ :

AP \cdot BC = AB \cdot PC + BP \cdot AC.

Подставим $AB = BC = AC = 7$ , $BP = 3$ , $CP = 5$ :

AP \cdot 7 = 7 \cdot 5 + 3 \cdot 7 = 35 + 21 = 56 \implies AP = 8.

(Заодно мы получили классический факт: для точки на дуге $BC$ равностороннего треугольника $AP = BP + CP$ ; здесь $8 = 3 + 5$ .)

Касающиеся окружности

На ДВИ часто дают задачи с двумя или несколькими окружностями. Главное правило: окружности касаются внешним (или внутренним) образом тогда и только тогда, когда их центры и точка касания лежат на одной прямой.

При внешнем касании расстояние между центрами равно $R + r$ .
При внутреннем касании расстояние между центрами равно $|R - r|$ .

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Если тип касания не задан условием — разбери ОБА случая

Когда в условии написано просто «окружности касаются» (без слова «внешним» или «внутренним»), под рубрику ДВИ нужно рассмотреть оба случая: внешнее ( $d = R + r$ ) и внутреннее ( $d = |R - r|$ ). Потеря одного случая = потеря решения/корня и снятие баллов. Зафиксируй на черновике: «возможны два расположения», и доведи каждый до ответа (некоторые могут отсеяться по геометрической непротиворечивости — это тоже надо проговорить).

Метод координат для окружности

Для сильной аудитории (ВМК, эконом) координаты — надёжный «лобовой» способ: геометрия сводится к алгебре, и не нужно угадывать дополнительные построения. Опорные формулы — в справочнике (раздел «Координаты на плоскости»).

ВАЖНОЕ

Уравнение окружности и пересечения

Окружность радиуса $R$ с центром $(a; b)$ :

(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2.

Прямая и окружность: подставить уравнение прямой в уравнение окружности — получится квадратное уравнение; число корней (по дискриминанту) даёт число точек пересечения. Касание $\iff D = 0 \iff$ расстояние от центра до прямой равно $R$ : $\;d(O,\ell) = \dfrac{|Aa + Bb + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = R$ .
Две окружности: вычитая их уравнения, квадратичные члены $x^2, y^2$ сокращаются — остаётся линейное уравнение. Это уравнение радикальной оси; при пересечении окружностей она содержит их общую хорду.

Пример 5. Общая хорда двух окружностей (метод координат)

Две окружности заданы уравнениями $x^2 + y^2 = 25$ и $(x - 6)^2 + y^2 = 25$ . Найдите длину их общей хорды.

АЛГОРИТМ

Алгоритм подхода к задаче с окружностью

Ищи равные углы. Отметь все вписанные углы, опирающиеся на одни и те же дуги. Это первый шаг к поиску подобных треугольников. Если в конструкции есть четырёхугольник — проверь критерий вписанности ( $\angle A + \angle C = 180^\circ$ ).
Проведи радиусы в точки касания. Если в задаче есть касательная, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен ей. Это даёт прямоугольные треугольники.
Соедини центры. Если окружности касаются друг друга (или пересекаются), линия центров — ключевой элемент конструкции. При пересечении она перпендикулярна общей хорде и делит её пополам. Если тип касания не задан — заложи разбор обоих случаев.
Примени метрические теоремы. Если есть пересечения линий внутри или вне окружности, запиши соотношения для отрезков секущих и хорд (следи за знаком степени точки).
Не получается синтетически — ставь координаты. Удачно выбранная система (центр в начале, линия центров вдоль оси) часто превращает задачу в короткое алгебраическое вычисление; общую хорду ищи вычитанием уравнений.

Примеры задач

Примеры ниже демонстрируют, как комбинировать базовые факты для решения многошаговых задач уровня ДВИ.

Пример 1. Секущая и прямоугольный треугольник

Из внешней точки $P$ к окружности радиуса $R = 2$ проведена касательная $PA$ ( $A$ — точка касания) и секущая, проходящая через центр окружности $O$ и пересекающая её в точках $B$ и $C$ (точка $B$ лежит между $P$ и $O$ ). Известно, что $\angle APC = 30^\circ$ . Найдите площадь треугольника $PAB$ .

Пример 2. Перпендикулярные хорды и радиус

Хорды $AB$ и $CD$ некоторой окружности пересекаются в точке $M$ . Известно, что $AM = 3$ , $MB = 4$ , $CM = 2$ , а длина отрезка $AC$ равна $\sqrt{13}$ . Найдите радиус данной окружности.

Находим отрезок $MD$ по теореме о хордах

По теореме о пересекающихся хордах $AM \cdot MB = CM \cdot MD$ . Подставим известные значения:

3 \cdot 4 = 2 \cdot MD \implies 12 = 2 \cdot MD \implies MD = 6.

Доказываем перпендикулярность хорд

Найдём угол между хордами. Рассмотрим треугольник $\triangle MAC$ : в нём известны три стороны $AM = 3$ , $CM = 2$ , $AC = \sqrt{13}$ . Применим теорему косинусов для угла $\angle AMC$ :

AC^2 = AM^2 + CM^2 - 2 \cdot AM \cdot CM \cdot \cos\angle AMC

13 = 9 + 4 - 12\cos\angle AMC \implies 13 = 13 - 12\cos\angle AMC \implies \cos\angle AMC = 0.

Следовательно, $\angle AMC = 90^\circ$ . Хорды $AB$ и $CD$ перпендикулярны.

Замечание о подобии (как обосновать без теоремы косинусов). Если бы нужно было сравнить треугольники $\triangle MAC$ и $\triangle MDB$ , делать это надо строго, с сопоставлением вершин: $\triangle MAC \sim \triangle MDB$ , где соответствие $M \leftrightarrow M$ , $A \leftrightarrow D$ , $C \leftrightarrow B$ . Углы: $\angle AMC = \angle DMB$ (вертикальные), $\angle MCA = \angle MBD$ (вписанные, опираются на дугу $AD$ ). Тогда коэффициент подобия $k = \dfrac{MA}{MD} = \dfrac{MC}{MB} = \dfrac{AC}{DB} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ . В этой задаче подобие не требуется — угол находим прямо теоремой косинусов, — но запись подобия должна выглядеть именно так.

Опускаем перпендикуляры из центра

Длины хорд: $AB = AM + MB = 3 + 4 = 7$ , $CD = CM + MD = 2 + 6 = 8$ . Пусть $O$ — центр окружности. Опустим перпендикуляры $OH_1$ на $AB$ и $OH_2$ на $CD$ .

Перпендикуляр из центра делит хорду пополам. Значит, $AH_1 = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{7}{2}$ . Так как хорды перпендикулярны, четырёхугольник $OH_1MH_2$ — прямоугольник, поэтому расстояние от центра до хорды $CD$ равно $MH_1$ :

OH_2 = MH_1 = AH_1 - AM = \frac{7}{2} - 3 = \frac{1}{2}.

Находим радиус по теореме Пифагора

Из прямоугольного треугольника $\triangle OH_2D$ по теореме Пифагора найдём радиус $R = OD$ (катет $H_2D = \dfrac{CD}{2} = 4$ ):

R^2 = OH_2^2 + H_2D^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 4^2 = \frac{1}{4} + 16 = \frac{65}{4}.

R = \frac{\sqrt{65}}{2}.

Пример 3. Три касающиеся окружности

Две окружности радиусов $R$ и $r$ касаются друг друга внешним образом. К ним проведена общая внешняя касательная. Третья окружность касается обеих данных окружностей внешним образом, а также касается их общей внешней касательной. Найдите радиус третьей окружности.

Строим прямоугольную трапецию и находим $AB$

Пусть $A$ и $B$ — точки касания двух исходных окружностей с общей касательной. Опустим перпендикуляры из центров $O_1$ и $O_2$ на касательную. Получим прямоугольную трапецию $O_1ABO_2$ .

Линия центров $O_1O_2 = R + r$ . Разность высот трапеции (катет прямоугольного треугольника, отсечённого высотой) равна $R - r$ . По теореме Пифагора найдём отрезок касательной $AB$ :

AB^2 = (R+r)^2 - (R-r)^2 = R^2 + 2Rr + r^2 - (R^2 - 2Rr + r^2) = 4Rr.

AB = 2\sqrt{Rr}.

Применяем ту же формулу к третьей окружности

Пусть $x$ — радиус искомой третьей окружности, а $C$ — точка её касания с прямой $AB$ . Точка $C$ лежит между $A$ и $B$ . Тогда отрезок $AB$ разбивается на два отрезка: $AC$ и $CB$ .

Применяя ту же формулу к парам касающихся окружностей (первая и третья, вторая и третья), получаем:

AC = 2\sqrt{Rx}, \quad CB = 2\sqrt{rx}.

Составляем и решаем уравнение

Так как $AB = AC + CB$ , запишем уравнение:

2\sqrt{Rr} = 2\sqrt{Rx} + 2\sqrt{rx}.

Разделим на 2 и выразим $\sqrt{x}$ :

\sqrt{x}(\sqrt{R} + \sqrt{r}) = \sqrt{Rr} \implies \sqrt{x} = \frac{\sqrt{Rr}}{\sqrt{R} + \sqrt{r}}.

Возводим в квадрат:

x = \frac{Rr}{(\sqrt{R} + \sqrt{r})^2}.

Пример 6. Задача на доказательство: точки лежат на одной окружности

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $BB_1$ и $CC_1$ (где $B_1$ на $AC$ , $C_1$ на $AB$ ). Докажите, что четыре точки $B$ , $C$ , $B_1$ , $C_1$ лежат на одной окружности, и укажите её центр.

Ключевая идея

ДВИ-планиметрия часто требует именно доказать факт, а не вычислить число. Ключевая идея: четыре точки лежат на одной окружности $\iff$ отрезок виден из двух из них под равными или прямыми углами.

Показываем, что $BC$ виден под прямым углом

Рассмотрим отрезок $BC$ . Высота $BB_1$ перпендикулярна $AC$ , поэтому в точке $B_1$ угол $\angle BB_1C = 90^\circ$ (треугольник $BB_1C$ прямоугольный с прямым углом при $B_1$ ).

Аналогично, высота $CC_1$ перпендикулярна $AB$ , поэтому $\angle BC_1C = 90^\circ$ .

Итак, отрезок $BC$ виден из точек $B_1$ и $C_1$ под прямым углом:

\angle BB_1C = \angle BC_1C = 90^\circ.

Применяем ГМТ прямого угла

Геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под прямым углом, — это окружность с диаметром, равным этому отрезку (следствие: вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой). Значит, и $B_1$ , и $C_1$ лежат на окружности с диаметром $BC$ . Точки $B$ и $C$ — концы этого диаметра, очевидно, тоже на ней.

Четыре точки на окружности с диаметром BC

Указываем центр

Центр этой окружности — середина диаметра $BC$ , а её радиус равен $\dfrac{BC}{2}$ .

Что и требовалось доказать. Точки $B$ , $C$ , $B_1$ , $C_1$ лежат на одной окружности с центром в середине стороны $BC$ и радиусом $\dfrac{BC}{2}$ .

Высокий уровень: окружность как геометрическое место точек

СОВЕТ

Окружность Аполлония

Геометрическое место точек $M$ , для которых отношение расстояний до двух фиксированных точек $A$ и $B$ постоянно и не равно $1$ :

\frac{MA}{MB} = k \quad (k \neq 1, \ k > 0),

— это окружность (окружность Аполлония). Её диаметром служит отрезок между двумя точками на прямой $AB$ , делящими отрезок $AB$ в отношении $k$ внутренним и внешним образом. При $k = 1$ ГМТ вырождается в серединный перпендикуляр к $AB$ (прямую, а не окружность).

Это узнаваемый сложный ДВИ-типаж: как только в условии фигурирует постоянное отношение расстояний — подозревай окружность Аполлония. Координатный путь: записать $MA^2 = k^2 MB^2$ , раскрыть — квадратичные члены дадут уравнение окружности.

Окружность Аполлония: ГМТ точек с постоянным отношением MA/MB=k

СОВЕТ

Окружность как ГМТ постоянного угла

Геометрическое место точек, из которых данный отрезок $AB$ виден под постоянным углом $\varphi$ , — это дуга окружности (точнее, две симметричные дуги по обе стороны от $AB$ ), для которой $AB$ — хорда, стягивающая вписанный угол $\varphi$ . Радиус такой окружности находится из моста $AB = 2R\sin\varphi$ , то есть $R = \dfrac{AB}{2\sin\varphi}$ . Частный случай $\varphi = 90^\circ$ — окружность с диаметром $AB$ (см. Пример 6).

Частые ошибки

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Не разобран тип касания / расположение точки

Ошибка: При фразе «окружности касаются» (без уточнения) рассмотреть только внешнее касание; при метрических задачах не учесть, что точка может лежать между концами хорды или вне отрезка. Правильно: Если условие не фиксирует конфигурацию — разбери все случаи: внешнее ( $d=R+r$ ) и внутреннее ( $d=|R-r|$ ) касание; «точка между» и «точка вне». Под рубрику МГУ потеря случая = потеря баллов.

Оформление под рубрику ДВИ

ДВИ оценивают по outcomes-рубрике «±»: важен не только верный ответ, но и полнота, обоснованность и разбор всех конфигураций. В планиметрии баллы теряют не на арифметике, а на недоказанных переходах и пропущенных случаях.

АЛГОРИТМ

Эталон полного решения планиметрической задачи на окружность

Чертёж и обозначения. Нарисуй аккуратную картинку, введи все точки буквами, отметь данные (равные углы, прямые углы, длины). Чертёж — часть решения, по нему проверяющий читает логику.
Назови каждый используемый факт. «По теореме о вписанном угле…», « $OA \perp PA$ , так как $PA$ — касательная», « $\triangle MAC \sim \triangle MDB$ по двум углам ( $\angle AMC = \angle DMB$ вертикальные, $\angle MCA = \angle MBD$ вписанные на дугу $AD$ )». Соответствие вершин в подобии выписывай явно.
Разбери все конфигурации. Если тип касания/расположение точки не задан — рассмотри каждый вариант и доведи до ответа (или явно отбрось с обоснованием).
Вычисления с промежуточными результатами. Каждый шаг — отдельная строка с пояснением, что и по какой формуле найдено.
Ответ и проверка. Запиши итог; где возможно — проверь согласованность (как в Примере 1: $PA^2 = PB\cdot PC$ ). В задачах на доказательство закончи явным «что и требовалось доказать».

ЧАСТАЯ ОШИБКА

За что снимают «±» на планиметрии окружности

Подобие/равенство треугольников использовано со словом «очевидно» или без указания признака и сопоставления вершин — снимают за необоснованность.
Потерян случай: не рассмотрено внутреннее касание, второе положение точки, вторая дуга вписанного угла — частичный балл вместо полного.
Формула площади $\tfrac12 ab\sin C$ применена, когда угол не между этими сторонами — грубая ошибка.
Площадь сектора/сегмента посчитана с углом в градусах в формуле для радиан.
В задаче «докажите» приведён частный пример/измерение по чертежу вместо общего рассуждения — не засчитывается как доказательство.

Что запомнить

Все вписанные углы, смотрящие на одну дугу, равны. Это самый мощный инструмент для поиска подобных треугольников.
Хорда $= 2R\sin\varphi$ , где $\varphi$ — опирающийся на неё вписанный угол. Главный мост «угол ↔ длина».
Угол между хордой и касательной равен половине дуги, стягиваемой хордой (и равен вписанному углу на эту дугу).
Угол между секущими: вершина внутри — полусумма дуг, вершина вне — полуразность.
Четырёхугольник вписанный $\iff \angle A + \angle C = 180^\circ$ ; описанный $\iff AB + CD = BC + AD$ ; для вписанного — теорема Птолемея $AC\cdot BD = AB\cdot CD + BC\cdot AD$ .
Теоремы о секущих и хордах ( $AM \cdot MB = CM \cdot MD$ ) работают всегда, независимо от расположения центра; степень точки $d^2-R^2$ — со знаком.
Для касающихся окружностей расстояние между центрами — это сумма ( $R+r$ ) или разность ( $|R-r|$ ) радиусов; если тип не задан — разбери оба.
Координатный метод: $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ ; общую хорду двух окружностей даёт вычитание их уравнений (радикальная ось).

Стратегия на ДВИ

СОВЕТ

Обоснование подобия

Проверяющие на мехмате очень строго относятся к необоснованным утверждениям. Если ты используешь подобие треугольников, обязательно укажи, по какому признаку они подобны, и выпиши цепочку равенств углов с сопоставлением вершин ( $\triangle MAC \sim \triangle MDB$ : $M\leftrightarrow M$ , $A\leftrightarrow D$ , $C\leftrightarrow B$ ). Запись вида « $\triangle ABC \sim \triangle KMN$ (очевидно)» приведёт к потере баллов за обоснование.

Проверь себя

Вписанный угол опирается на диаметр окружности. Чему он равен?
Хорда окружности радиуса $R$ видна с окружности под вписанным углом $\varphi$ . Чему равна длина хорды?
Вершина угла лежит ВНЕ окружности (две секущие). Чему равен угол?
Окружности радиусов $R$ и $r$ касаются внутренним образом. Чему равно расстояние между их центрами?

Окружность

Суть темы

Основные формулы и теоремы