Часть 2, задание 2: Числа и последовательности

Содержание

О задании 2 ДВИ МГУ
Какие темы встречаются
Базовый арсенал
Стратегия и алгоритм подхода
Примеры решения задач
Частые ошибки
Оформление под рубрику ДВИ
Что запомнить

О задании 2 ДВИ МГУ

Второе задание ДВИ МГУ — это мост между чисто техническими вычислениями первого номера и более сложной алгеброй последующих. Обычно это задача на числа, последовательности и текстовые модели.

В отличие от первой задачи, здесь редко достаточно просто применить формулу. От тебя потребуется составить математическую модель (систему уравнений или соотношений), увидеть её структурные особенности (например, что переменных больше, чем уравнений, или что величины обязаны быть натуральными) и довести её до единственно возможного ответа.

Какие темы встречаются

Опыт реального банка Задания 2 показывает: больше всего здесь текстовых задач на движение и работу (катера по реке, велосипедист и мотоциклист, бобёр против течения), а рядом с ними — задачи на прогрессии и на целые числа. Поэтому опираемся на четыре кита:

Текстовые задачи на движение и работу (rate-задачи). Это доминирующий подтип. Сюжет — катера по реке, пешеход и мотоциклист, трубы и бассейны. Модель строится на соотношении $S = v\,t$ (или $A = p\,t$ для работы). Это непрерывные задачи: скорости, времена и расстояния — вещественные, а не обязательно целые. Не путай их с диофантовыми уравнениями.
Прогрессии (арифметическая и геометрическая). Найти элементы прогрессии, сумму её членов, или смешанные задачи, где одни и те же числа сначала образуют АП, а после сдвига — ГП. Сюда же относится связка «сумма прогрессии + натуральность + перебор делителей» (например: строго возрастающая АП натуральных чисел с заданной суммой — найти все возможные $n$ ).
Целочисленные (диофантовы) задачи. Здесь искомые величины строго целые или натуральные, и уравнений меньше, чем неизвестных. Метод — разложение на множители и перебор делителей, либо оценка («зажатие») неравенствами.
Делимость и десятичная запись числа. Задачи на цифры числа, признаки делимости, остатки.

Базовый арсенал

На экзамене не будет справочных материалов. Все формулы нужно держать в голове и уметь применять «с закрытыми глазами». Полный свод — в справочнике ДВИ (разделы «Прогрессии», «Числа и делимость», «Текстовые задачи»); ниже — рабочий минимум для Задания 2.

ВАЖНОЕ

Геометрическая прогрессия (ГП)

Каждый следующий член получается умножением на знаменатель $q \neq 0$ :

b_n = b_1 \cdot q^{n-1}

Сумма первых $n$ членов ( $q \neq 1$ ):

S_n = b_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}

Свойство среднего (для знакопостоянной ГП): $b_k^2 = b_{k-1} \cdot b_{k+1}$

Бесконечно убывающая ГП ( $|q| < 1$ ) имеет конечную сумму:

S = \frac{b_1}{1 - q}.

Этой формулой сворачивают периодические десятичные дроби: $0{,}(3) = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$ как сумма ГП с $b_1 = 0{,}3$ и $q = 0{,}1$ .

ВАЖНОЕ

Рекуррентные соотношения

Последовательность может задаваться не явной формулой, а рекуррентно: первый член (или несколько) плюс правило перехода $a_{n+1} = f(a_n)$ .

Линейная рекуррента $a_{n+1} = p\,a_n + r$ ( $p \neq 1$ ) приводится к ГП заменой $b_n = a_n - c$ , где $c$ — неподвижная точка $c = p\,c + r$ , то есть $c = \dfrac{r}{1 - p}$ . Тогда $b_{n+1} = p\,b_n$ — чистая ГП.
Если правило — «прибавить константу» ( $a_{n+1} = a_n + d$ ) или «умножить на константу» ( $a_{n+1} = a_n q$ ), это просто АП или ГП. Цель — получить явную формулу $a_n$ , а её корректность доказать индукцией (см. справочник, раздел «Индукция»).

Стратегия и алгоритм подхода

Столкнувшись со вторым номером, сначала определи тип: перед тобой непрерывная текстовая задача (движение/работа) или целочисленная/прогрессионная? От этого зависит метод.

АЛГОРИТМ

Алгоритм работы с заданием 2

Введи переменные. Обозначь неизвестные. Если это задача на прогрессии — сразу переходи к базовым элементам ( $a_1$ и $d$ , либо $b_1$ и $q$ ). Не плоди переменные $a_2, a_3, a_5$ . Если это rate-задача — введи скорости, время и расстояние.
Запиши ограничения. Явно зафиксируй в чистовике: какие переменные строго больше нуля (скорости, времена), какие обязаны быть целыми ( $x \in \ZZ$ ) или натуральными ( $n \in \NN$ ). Для движения по реке: собственная скорость строго больше скорости течения.
Составь модель. Для текстовых — таблица «расстояние = скорость × время» по каждому участку. Для прогрессий и чисел — система уравнений и условий делимости.
Оцени количество уравнений и неизвестных.
- Если уравнений столько же, сколько неизвестных — решай стандартно (подстановкой или сложением). Для rate-задач часто помогает деление уравнений (исключаем общий множитель и переходим к отношениям).
- Если неизвестных больше (например, одно уравнение с двумя целыми переменными) — перед тобой задача на целые числа. Используй разложение на множители, выделение полного квадрата или оценку через неравенства.
Докажи полноту ответа. Для задач «найдите все…» (диофантовы, перебор $n$ ) недостаточно предъявить решения — нужно показать, что других нет, и подставить каждое найденное в исходное условие.

Примеры решения задач

Разберём семь типичных ситуаций: текстовую задачу на движение по реке, текстовую на встречное движение, связку «сумма прогрессии + делимость», комбинацию прогрессий, уравнение в целых числах, метод оценки («зажатие») и задачу на десятичную запись числа.

Пример 1. Движение по реке (доминирующий тип)

Бобёр доплывает от своей норы вниз по реке до осиновой рощи за три минуты. Подкрепившись, он плывёт обратно к норе, на что у него уходит четыре минуты. Во сколько раз собственная скорость бобра превышает скорость течения? (Собственную скорость бобра считать постоянной.)

СОВЕТ

Как оформлять rate-задачу под рубрику

Проверяющий хочет видеть модель, а не только итог. Эталон: (1) выписаны переменные и их физический смысл; (2) явно указаны ограничения ( $v>0$ , $v>u$ для реки, $t>0$ ); (3) расписана таблица или система «расстояние = скорость × время» по каждому участку; (4) показан переход к ответу; (5) проверка, что найденные величины осмысленны (скорость положительна, против течения не нулевая). Пропуск ограничения «собственная скорость больше течения» — типичная потеря «±».

Пример 2. Встречное движение с дробью пути

Велосипедист Василий выехал из A в B ( $AB = 4$ км). Проехав треть пути, он сломал велосипед и пошёл пешком обратно в A. В момент поломки из A выехал мотоциклист Григорий. На каком расстоянии от A Григорий встретит Василия, если Василий доберётся до A тогда же, когда Григорий доберётся до B? Скорости постоянны.

Вводим переменные и разбираем геометрию движения

Введём скорости: $v_\text{п}$ — пешехода Василия, $v_\text{м}$ — мотоциклиста Григория (км/ч), все строго положительны.

Точка поломки — на расстоянии $\dfrac{1}{3}\cdot 4 = \dfrac{4}{3}$ км от A. В момент поломки Григорий стартует из A; начиная с этого момента, оба движутся навстречу друг другу по отрезку $\left[0;\ \dfrac{4}{3}\right]$ : Василий идёт из точки $\dfrac{4}{3}$ к A, Григорий — из A в сторону B.

Схема встречного движения на отрезке поломка–A

Используем условие «доберутся одновременно»

Василию идти пешком до A путь $\dfrac{4}{3}$ км, время $\dfrac{4/3}{v_\text{п}}$ . Григорию до B путь $4$ км, время $\dfrac{4}{v_\text{м}}$ . Эти времена равны:

\frac{4/3}{v_\text{п}} = \frac{4}{v_\text{м}} \implies v_\text{м} = \frac{4}{4/3}\,v_\text{п} = 3\,v_\text{п}.

Находим точку встречи

Они сближаются, начальное расстояние между ними $\dfrac{4}{3}$ км, скорость сближения $v_\text{п} + v_\text{м}$ . Время до встречи:

t = \frac{4/3}{v_\text{п} + v_\text{м}} = \frac{4/3}{v_\text{п} + 3v_\text{п}} = \frac{4/3}{4v_\text{п}} = \frac{1}{3v_\text{п}}.

Расстояние от A до точки встречи — это путь Григория за время $t$ :

s = v_\text{м}\cdot t = 3v_\text{п}\cdot \frac{1}{3v_\text{п}} = 1.

Заметь: ответ не зависит от конкретных скоростей — сократился общий множитель $v_\text{п}$ , осталось чистое отношение. Это характерно для rate-задач: вводим параметр, но в ответе он уходит.

Пример 3. Сумма прогрессии + делимость + перебор

Натуральные числа $a_1, \dots, a_n$ образуют строго возрастающую арифметическую прогрессию. Найдите все возможные значения $n$ , если $n$ нечётно, $n > 1$ и сумма $a_1 + \dots + a_n$ равна $2024$ .

Записываем сумму и переходим к произведению

Запишем сумму через первый член $a_1$ и разность $d$ :

S_n = \frac{2a_1 + (n - 1)d}{2}\cdot n = 2024.

Умножим на $2$ :

n\big(2a_1 + (n - 1)d\big) = 4048.

Фиксируем ограничения

Ограничения (выписываем под рубрику). Числа натуральные и прогрессия строго возрастающая, значит $a_1 \geqslant 1$ и $d \geqslant 1$ (целая положительная разность; если бы $d$ было нецелым, члены не были бы все натуральными при $a_1$ натуральном). Обозначим скобку $B = 2a_1 + (n - 1)d$ . Тогда $n\cdot B = 4048$ , причём $B$ — натуральное.

Используем чётность и раскладываем на множители

Чётность скобки. По условию $n$ нечётно, тогда $n - 1$ чётно, поэтому $(n-1)d$ чётно, и $B = 2a_1 + (n-1)d$ — сумма двух чётных, то есть $B$ чётно. Значит $4048 = n\cdot B$ , где $n$ нечётно, а $B$ чётно. Отсюда вся двойка из разложения $4048$ сидит в $B$ .

Разложим $4048$ на множители: $4048 = 2^4 \cdot 11 \cdot 23$ . Нечётные делители: $1,\ 11,\ 23,\ 253$ . Так как $n$ нечётно, $n > 1$ , кандидаты: $n \in \{11,\ 23,\ 253\}$ .

Отсеиваем кандидатов оценкой снизу

Минимально возможная сумма при фиксированном $n$ достигается при $a_1 = 1,\ d = 1$ и равна $1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ . Эта сумма не должна превосходить $2024$ :

\frac{n(n+1)}{2} \leqslant 2024 \iff n(n+1) \leqslant 4048.

Проверяем кандидатов:

$n = 11$ : $11\cdot 12 = 132 \leqslant 4048$ — годится.
$n = 23$ : $23\cdot 24 = 552 \leqslant 4048$ — годится.
$n = 253$ : $253\cdot 254 = 64\,262 > 4048$ — не подходит: даже самая «тесная» прогрессия $1,2,\dots,253$ даёт сумму больше $2024$ .

Проверяем существование и полноту

Проверка существования для $n = 11$ и $n = 23$ (обязательно — иначе ответ неполон):

$n = 11$ : $B = \dfrac{4048}{11} = 368$ , уравнение $2a_1 + 10d = 368$ , то есть $a_1 + 5d = 184$ . При $d = 1$ : $a_1 = 179$ — натуральное. Прогрессия существует.
$n = 23$ : $B = \dfrac{4048}{23} = 176$ , уравнение $2a_1 + 22d = 176$ , то есть $a_1 + 11d = 88$ . При $d = 1$ : $a_1 = 77$ — натуральное. Прогрессия существует.

Оба значения реализуемы, $n = 253$ отброшено по оценке. Других нечётных делителей у $4048$ нет — набор полон.

Пример 4. Комбинация прогрессий

Три числа образуют арифметическую прогрессию. Если первое число уменьшить на $1$ , второе оставить без изменений, а третье увеличить на $1$ , то полученные числа образуют геометрическую прогрессию. Найди исходные числа, если известно, что их сумма равна $15$ .

Вводим симметричные обозначения

Пусть исходные числа образуют арифметическую прогрессию. Удобно обозначить их симметрично: $a - d$ , $a$ , $a + d$ , где $d$ — разность прогрессии.

Запиши условие для их суммы:

(a - d) + a + (a + d) = 15 \implies 3a = 15 \implies a = 5.

Значит, исходные числа имеют вид: $5 - d$ , $5$ , $5 + d$ .

Записываем изменённые числа

После изменений (первое уменьшили на $1$ , третье увеличили на $1$ ) получим новые числа:

(5 - d) - 1 = 4 - d

5

(5 + d) + 1 = 6 + d

Применяем свойство геометрической прогрессии

По условию числа $4 - d$ , $5$ и $6 + d$ образуют геометрическую прогрессию. Примени характеристическое свойство ГП (квадрат среднего равен произведению крайних):

5^2 = (4 - d)(6 + d)

25 = 24 + 4d - 6d - d^2

d^2 + 2d + 1 = 0

(d + 1)^2 = 0 \implies d = -1.

Находим числа и проверяем

Найдем исходные числа, подставив $d = -1$ в выражения $5 - d$ , $5$ , $5 + d$ : Первое число: $5 - (-1) = 6$ . Второе число: $5$ . Третье число: $5 + (-1) = 4$ .

Проверка: $6, 5, 4$ — арифметическая прогрессия. Измененные числа: $5, 5, 5$ — геометрическая прогрессия (со знаменателем $q = 1$ ). Условия выполнены.

Пример 5. Уравнение в целых числах

Найди все пары целых чисел $(x;\, y)$ , удовлетворяющие уравнению:

x^2 - xy - 2y^2 = 7

Раскладываем левую часть на множители

Перед нами одно уравнение с двумя неизвестными. Поскольку $x, y \in \ZZ$ , необходимо разложить левую часть на множители.

Разложим на множители выражение $x^2 - xy - 2y^2$ . Для этого представим $-xy$ как $xy - 2xy$ :

x^2 + xy - 2xy - 2y^2 = 7

Сгруппируем:

x(x + y) - 2y(x + y) = 7

(x - 2y)(x + y) = 7

Перебираем целые делители

Так как $x$ и $y$ — целые числа, то выражения $(x - 2y)$ и $(x + y)$ также являются целыми числами. Их произведение равно простому числу $7$ . Целые делители числа $7$ — это $\pm 1$ и $\pm 7$ . Возникает четыре возможных системы:

Случай 1:

\begin{cases} x - 2y = 1 \\ x + y = 7 \end{cases}

Вычтем из второго уравнения первое: $3y = 6 \implies y = 2$ . Тогда $x = 7 - 2 = 5$ . Пара $(5;\, 2)$ — целая, подходит.

Случай 2:

\begin{cases} x - 2y = 7 \\ x + y = 1 \end{cases}

Вычтем из второго первое: $3y = -6 \implies y = -2$ . Тогда $x = 1 - (-2) = 3$ . Пара $(3;\, -2)$ — подходит.

Случай 3:

\begin{cases} x - 2y = -1 \\ x + y = -7 \end{cases}

Вычтем из второго первое: $3y = -6 \implies y = -2$ . Тогда $x = -7 - (-2) = -5$ . Пара $(-5;\, -2)$ — подходит.

Случай 4:

\begin{cases} x - 2y = -7 \\ x + y = -1 \end{cases}

Вычтем из второго первое: $3y = 6 \implies y = 2$ . Тогда $x = -1 - 2 = -3$ . Пара $(-3;\, 2)$ — подходит.

Доказываем полноту и проверяем

Полнота и проверка (обязательный шаг рубрики). Мы перебрали все разложения $7$ на два целых множителя — четыре пары $(\pm1,\pm7),(\pm7,\pm1)$ с учётом знаков, — значит других решений быть не может. Подставим каждую пару в исходное уравнение $x^2 - xy - 2y^2$ : для $(5;2)$ получаем $25 - 10 - 8 = 7$ — верно; аналогично проверяются остальные три. Все четыре пары удовлетворяют уравнению.

Пример 6. Метод оценки («зажатие») для целых чисел

Найди все натуральные числа $x$ и $y$ , для которых $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{3}$ .

Пример 7. Десятичная запись числа

Сумма цифр двузначного числа равна $12$ . Если поменять его цифры местами, число уменьшится на $18$ . Найди исходное число.

СОВЕТ

Рекуррента: короткий пример

Последовательность задана так: $a_1 = 1$ и $a_{n+1} = 2a_n + 1$ . Найти явную формулу. Неподвижная точка: $c = 2c + 1 \implies c = -1$ . Замена $b_n = a_n - (-1) = a_n + 1$ даёт $b_{n+1} = a_{n+1} + 1 = 2a_n + 2 = 2(a_n + 1) = 2b_n$ — чистая ГП с $b_1 = a_1 + 1 = 2$ . Значит $b_n = 2\cdot 2^{n-1} = 2^n$ , и

a_n = b_n - 1 = 2^n - 1.

Проверка: $a_1=1,\ a_2=3,\ a_3=7,\ a_4=15$ — совпадает с $2^n - 1$ . Корректность строго доказывают индукцией.

Частые ошибки

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря прогрессий с нулевой разностью

Ошибка: Делать вывод, что если знаменатель ГП равен $1$ , или разность АП равна $0$ , то это "неправильная" прогрессия и отбрасывать этот случай. Правильно: Последовательность одинаковых чисел (например, $5, 5, 5$ ) одновременно является и арифметической прогрессией (с $d=0$ ), и геометрической (с $q=1$ ). Отбрасывать такие решения можно только если в условии явно сказано "возрастающая" или "убывающая" прогрессия, либо "с ненулевой разностью".

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря ограничений в текстовых задачах

Ошибка: Решать rate-задачу как абстрактную алгебру, забыв, что скорости и времена положительны, а собственная скорость по реке строго больше скорости течения. Правильно: Выписывай ограничения ( $v>0$ , $t>0$ , $v_\text{соб} > v_\text{теч}$ ) ДО решения и проверяй их в конце. Решение с отрицательной скоростью или с собственной скоростью меньше течения — посторонний корень, его отбрасывают с объяснением.

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Неполный ответ в задачах «найдите все»

Ошибка: Найти несколько решений и остановиться, не доказав, что других нет; либо оставить «лишние» делители, не проверив их подстановкой. Правильно: Для диофантовых и для перебора $n$ полный балл по outcomes-рубрике требует двух вещей: (1) показать, что перебраны все случаи (все делители, все нечётные делители и т. п.) — это даёт полноту; (2) подставить каждое найденное решение в исходное условие — это отсекает посторонние. Без обоснования полноты ответ считается частичным.

Оформление под рубрику ДВИ

ДВИ оценивают по outcomes-рубрике «±»: важно не только верное число, но и обоснованность каждого шага. Ниже — эталон полного решения и список того, за что снимают «±».

АЛГОРИТМ

Эталон полного решения Задания 2

Введение переменных с явным физическим/арифметическим смыслом («пусть $v$ — собственная скорость, м/мин»).
Ограничения выписаны до решения: знаки, целочисленность, натуральность, $v_\text{соб} > v_\text{теч}$ , ОДЗ для дробей/корней.
Модель: система уравнений (для текстовых — таблица «расстояние = скорость × время» по участкам; для прогрессий — формулы $a_n$ , $S_n$ ; для чисел — десятичная запись и условия делимости).
Решение с обоснованием каждого перехода. Если делишь на переменную или на $(q-1)$ — отдельно разбери случай, когда она равна нулю.
Полнота: для «найдите все» — доказательство, что перебраны все варианты и других нет.
Проверка: подстановка ответа в исходное условие; отсев посторонних корней (отрицательные скорости, нецелые $n$ ).
Чёткий ответ, выделенный отдельно.

ЧАСТАЯ ОШИБКА

За что снимают «±»

Не выписаны ограничения / ОДЗ (особенно $v_\text{соб} > v_\text{теч}$ , $n \in \NN$ , знаменатель $\neq 0$ ).
Деление на переменную или на $(q-1)$ без разбора случая « $=0$ ».
Не доказана полнота набора решений в задачах «найдите все».
Найденные решения не подставлены в исходное условие (посторонние корни не отсеяны).
Отброшен вырожденный случай ( $d=0$ , $q=1$ ) без обоснования из условия.
Арифметическая ошибка «плюс-минус один» при подсчёте числа членов.

Что запомнить

Сначала определи тип задачи. Текстовая на движение/работу — непрерывная rate-модель ( $S=v\,t$ ); прогрессия — формулы $a_n$ , $S_n$ ; целые числа — делители и оценка. Не своди текстовые задачи к диофантовым.
Симметричные обозначения облегчают жизнь: если нужно найти три члена АП, обозначай их $a-d, a, a+d$ . Сумма сразу даст $3a$ .
В rate-задачах общий множитель (одна из скоростей) часто сокращается — ответ выражается через отношение и не зависит от абсолютных значений.
Связка «сумма прогрессии $=N$ + натуральность + перебор делителей» — частый и каноничный подтип; раскладывай $N$ (или $2N$ ) на множители и используй чётность.
Произведение двух целых скобок равно простому числу — классический метод перебора делителей для диофантовых уравнений на ДВИ.
Бесконечно убывающая ГП ( $|q|<1$ ) сворачивает периодические дроби: $S=\dfrac{b_1}{1-q}$ .
Для задач «найдите все» обязательно докажи полноту и подставь каждое решение в исходное условие.

СОВЕТ

Стратегия на экзамене

Оптимальное время на второе задание — 20-25 минут. Обязательно выпиши все ОДЗ, если в задаче встречаются дроби или корни (даже если это текстовая задача). Проверяющие ДВИ строго карают за деление на переменную без проверки её равенства нулю. Если делишь уравнение на $x$ или на $(q-1)$ , всегда пиши: "Пусть $q=1$ . Тогда... (доказываешь, что не подходит). Пусть $q \neq 1$ . Разделим обе части на $(q-1)$ ...". Обоснованность каждого перехода приносит баллы.

Проверь себя

Катер идёт по течению 2 часа, а обратно тот же путь — 3 часа. Во сколько раз собственная скорость катера больше скорости течения?
Сколько членов прогрессии находится с $4$ -го по $9$ -й включительно?
Числа $5,\ 5,\ 5$ — это...
Уравнение $(x - 2y)(x + y) = 7$ решают в целых числах. Сколько случаев даёт перебор целых делителей числа $7$ ?

Часть 2, задание 2: Числа и последовательности

О задании 2 ДВИ МГУ

Какие темы встречаются

Базовый арсенал

Стратегия и алгоритм подхода

Примеры решения задач

Вводим переменные и ограничения

Составляем уравнения по участкам

Приравниваем и решаем

Проверяем совместность

Вводим переменные и разбираем геометрию движения

Используем условие «доберутся одновременно»

Находим точку встречи

Записываем сумму и переходим к произведению

Фиксируем ограничения

Используем чётность и раскладываем на множители

Отсеиваем кандидатов оценкой снизу

Проверяем существование и полноту

Вводим симметричные обозначения

Записываем изменённые числа

Применяем свойство геометрической прогрессии

Находим числа и проверяем

Раскладываем левую часть на множители

Перебираем целые делители

Доказываем полноту и проверяем

Способ 1: разложение на множители

Способ 2: оценка («зажатие»)

Перебираем зажатый диапазон

Вводим цифры и ограничения

Составляем и решаем систему

Проверяем

Частые ошибки

Оформление под рубрику ДВИ

Что запомнить