Последовательности

Содержание

Суть темы
Основные формулы
Главные методы решения
Примеры разбора задач
Частые ошибки
Оформление под рубрику ДВИ
Что запомнить
Стратегия на ДВИ

Суть темы

На ДВИ по математике задачи на последовательности и прогрессии (обычно это номера 2 или 6) редко сводятся к банальному применению школьных формул. Здесь от тебя потребуется умение составлять и решать нелинейные системы уравнений, работать с рекуррентными соотношениями (когда каждый следующий член выражается через предыдущие), исследовать последовательность на монотонность, ограниченность и предел, а также находить суммы нестандартных рядов с помощью искусственных преобразований.

Любая задача на стандартные прогрессии сводится к текстовой задаче: нужно ввести базовые переменные (первый член и шаг/знаменатель) и перевести условие в систему алгебраических уравнений.

Основные формулы

Формулы прогрессий на экзамене не выдают, их нужно знать досконально. Любой член прогрессии однозначно определяется её первым членом и шагом (или знаменателем). Полный список формул — в spravochnik-dvi.md, раздел 5 «Прогрессии и последовательности».

ВАЖНОЕ

Геометрическая прогрессия (ГП)

Задаётся условием $b_{n+1} = b_n \cdot q$ , где $q \neq 0$ и $b_1 \neq 0$ . Общий член:

b_n = b_1 \cdot q^{n-1}

Сумма первых $n$ членов (при $q \neq 1$ ):

S_n = b_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}

Характеристическое свойство: квадрат любого члена (кроме первого) равен произведению соседей:

b_k^2 = b_{k-1} \cdot b_{k+1}

(Если все члены положительны, $b_k$ — среднее геометрическое соседей: $b_k = \sqrt{b_{k-1}b_{k+1}}$ ).

ВАЖНОЕ

Бесконечно убывающая ГП (сумма ряда)

Если $|q| < 1$ , то частичные суммы $S_n = b_1\dfrac{1 - q^n}{1 - q}$ имеют конечный предел, потому что $q^n \to 0$ при $n \to \infty$ . Этот предел называют суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

S = \dfrac{b_1}{1 - q}, \qquad |q| < 1.

Условие $|q| < 1$ обязательно: при $|q| \geqslant 1$ ряд расходится и формула неприменима. Главное применение на ДВИ — перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную.

Вывод формул сумм (если забыл под стрессом)

Раз лист формул не выдают, важно уметь не зубрить, а восстанавливать формулы суммы за полминуты прямо на черновике.

ВАЖНОЕ

Вывод суммы АП — сложение «прямо и обратно»

Запишем сумму $S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n$ дважды: в прямом и в обратном порядке.

S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n

S_n = a_n + a_{n-1} + \ldots + a_1

Сложим столбиком. В каждом столбце стоит пара вида $a_k + a_{n-k+1}$ , а у АП сумма равноудалённых от концов членов постоянна: $a_k + a_{n-k+1} = a_1 + a_n$ . Столбцов ровно $n$ , поэтому

2S_n = n(a_1 + a_n) \implies S_n = \frac{a_1 + a_n}{2}\cdot n.

ВАЖНОЕ

Вывод суммы ГП — домножение на

q

Пусть $S_n = b_1 + b_1 q + b_1 q^2 + \ldots + b_1 q^{n-1}$ . Домножим обе части на $q$ :

qS_n = b_1 q + b_1 q^2 + \ldots + b_1 q^{n-1} + b_1 q^n.

Вычтем первое равенство из второго — все средние слагаемые сократятся:

qS_n - S_n = b_1 q^n - b_1 \implies S_n(q-1) = b_1(q^n - 1).

При $q \neq 1$ делим: $S_n = b_1\dfrac{q^n - 1}{q - 1} = b_1\dfrac{1 - q^n}{1 - q}$ . Деление на $(q-1)$ корректно ровно потому, что мы заранее оговорили $q \neq 1$ .

Главные методы решения

1. Переход к базовым переменным

Если дана смесь АП и ГП, вырази все члены через $a_1$ и $d$ (для арифметической) или $b_1$ и $q$ (для геометрической). Уравнений должно получиться ровно столько же, сколько неизвестных. Полученную систему решай подстановкой или группировкой.

2. Метод «телескопических» сумм

Если нужно найти сумму огромного числа слагаемых (например, 100 или 2024), лоб в лоб считать нельзя. Ищи способ представить каждое слагаемое в виде разности $f(k) - f(k+1)$ . При сложении все промежуточные члены взаимно уничтожатся («схлопнутся» как подзорная труба).

Типичные разложения для ДВИ:

$\dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1}$
$\dfrac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} = \sqrt{k+1} - \sqrt{k} \quad$ (домножение на сопряжённое)

3. Исследование рекуррентных соотношений

Если последовательность задана сложным правилом, посчитай вручную первые 4-5 членов. Дальше возможны два сценария:

Свернуть и доказать формулу. Заметь закономерность (например, $a_n = \dfrac{1}{n}$ ) и строго докажи её методом математической индукции (см. Пример 4).
Исследовать поведение, не зная явной формулы. Когда явная формула не угадывается, но спрашивают предел или оценку, доказывают монотонность и ограниченность последовательности (тогда предел существует), а сам предел $L$ находят из уравнения неподвижной точки: переходя к пределу в рекуррентном соотношении $a_{n+1} = f(a_n)$ , получают $L = f(L)$ (см. Пример 5).

4. Метод математической индукции

Универсальный инструмент доказательства утверждений «для всех натуральных $n$ ». Эталон оформления под рубрику ДВИ:

База. Проверяем утверждение при $n = 1$ (или другом стартовом $n_0$ ).
Предположение индукции. Допускаем, что утверждение верно при $n = k$ .
Шаг. Опираясь только на предположение, доказываем утверждение при $n = k+1$ .
Вывод. «По принципу математической индукции утверждение верно для всех натуральных $n$ ».

Пропуск любого из четырёх пунктов — повод снять баллы. Угаданная, но не доказанная формула баллов не приносит.

Примеры разбора задач

Пример 1. Смесь прогрессий

Сумма трёх чисел, образующих возрастающую арифметическую прогрессию, равна $15$ . Если к первому числу прибавить $1$ , ко второму $4$ , а к третьему $19$ , то получатся три числа, образующие геометрическую прогрессию. Найди исходные числа.

Вводим симметричные переменные

Пусть искомые числа — это члены арифметической прогрессии: $a-d$ , $a$ , $a+d$ . (Такая запись удобнее, чем $a_1, a_1+d, a_1+2d$ , так как сразу упрощает сумму).

По условию их сумма равна $15$ :

(a-d) + a + (a+d) = 15 \iff 3a = 15 \iff a = 5

Значит, наши числа: $5-d$ , $5$ , $5+d$ . Условие гласит, что прогрессия возрастающая, поэтому $d > 0$ .

Составляем уравнение по свойству ГП

После прибавления заданных чисел получаем новую тройку:

$(5-d) + 1 = 6-d$
$5 + 4 = 9$
$(5+d) + 19 = 24+d$

Эти числа образуют геометрическую прогрессию. Применим характеристическое свойство ГП (квадрат среднего равен произведению крайних):

9^2 = (6-d)(24+d)

81 = 144 + 6d - 24d - d^2

d^2 + 18d - 63 = 0

Решаем квадратное и отбираем корень

Решаем квадратное уравнение: $D = 18^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-63) = 324 + 252 = 576 = 24^2$ .

d = \frac{-18 \pm 24}{2} \implies d_1 = 3, \quad d_2 = -21.

Так как прогрессия возрастающая, $d > 0$ , поэтому подходит только $d = 3$ .

Проверяем отброшенный корень и записываем ответ

Проверка отброшенного корня (важный методический момент). Корень $d = -21$ даёт исходную тройку $5-(-21),\,5,\,5+(-21) = 26,\,5,\,-16$ , а новую тройку — $6-(-21),\,9,\,24+(-21) = 27,\,9,\,3$ . Это вполне корректная геометрическая прогрессия со знаменателем $q = \dfrac{1}{3}$ (проверка: $9^2 = 27\cdot 3 = 81$ ). То есть $d=-21$ отброшен не потому, что нарушает условие ГП — оно выполняется! — а только из-за требования возрастания исходной АП ( $d>0$ ). Это ровно тот случай (см. раздел «Частые ошибки»), когда оба корня геометрически законны, и отбор идёт исключительно по монотонности. Не отбрось такой корень «молча» — обоснуй, почему именно он не подходит.

Исходные числа при $d=3$ : $5-3=2$ , $5$ , $5+3=8$ .

Ответ: $2, 5, 8$ .

Пример 2. Телескопическая сумма

Вычисли сумму 99 слагаемых:

S = \dfrac{10}{1+2} + \dfrac{10}{1+2+3} + \dfrac{10}{1+2+3+4} + \ldots + \dfrac{10}{1+2+\ldots+100}

Находим общий вид слагаемого

Рассмотрим общий вид $k$ -го слагаемого в этой сумме (начиная с $k=2$ до $k=100$ ). Знаменатель представляет собой сумму арифметической прогрессии от $1$ до $k$ :

1 + 2 + \ldots + k = \frac{1+k}{2} \cdot k

Тогда $k$ -е слагаемое можно переписать так:

a_k = \frac{10}{\frac{k(k+1)}{2}} = \frac{20}{k(k+1)}

Раскладываем на разность дробей

Применим метод разложения на простейшие дроби:

a_k = 20 \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right)

Теперь распишем всю искомую сумму $S$ , подставляя $k = 2, 3, \ldots, 100$ . Выпишем первые три и последние два слагаемых явно (как и советует раздел «Что запомнить»):

S = 20\!\left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + 20\!\left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + 20\!\left( \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \right) + \ldots + 20\!\left( \frac{1}{99} - \frac{1}{100} \right) + 20\!\left( \frac{1}{100} - \frac{1}{101} \right)

Схлопываем телескопическую сумму

Вынесем общий множитель $20$ и заметим, что каждое отрицательное слагаемое $-\frac{1}{k+1}$ гасится положительным слагаемым $+\frac{1}{k+1}$ следующей скобки:

S = 20 \left( \frac{1}{2} - \cancel{\frac{1}{3}} + \cancel{\frac{1}{3}} - \cancel{\frac{1}{4}} + \cancel{\frac{1}{4}} - \ldots - \cancel{\frac{1}{100}} + \cancel{\frac{1}{100}} - \frac{1}{101} \right)

Уцелели только самый первый ( $\frac{1}{2}$ ) и самый последний ( $-\frac{1}{101}$ ) члены:

S = 20 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{101} \right) = 20 \cdot \frac{101 - 2}{202} = 20 \cdot \frac{99}{202} = \frac{990}{101}

Ответ: $\dfrac{990}{101}$ .

Пример 3. Телескоп на корнях

Вычисли сумму $99$ слагаемых:

T = \dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + \ldots + \dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}

Пример 4. Угадать формулу и доказать индукцией

Последовательность задана рекуррентно: $a_1 = 1$ и $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{1 + a_n}$ для всех $n \geqslant 1$ . Найди формулу общего члена $a_n$ и строго докажи её.

Пример 5. Монотонность, ограниченность, предел

Последовательность задана так: $a_1 = 1$ и $a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$ для всех $n \geqslant 1$ . Докажи, что последовательность имеет предел, и найди его.

План решения

Здесь явная формула общего члена не угадывается, поэтому действуем по схеме «монотонность + ограниченность $\Rightarrow$ предел существует», а сам предел находим из уравнения неподвижной точки.

Диаграмма-«паутинка» (cobweb) для рекуррентной последователь

Ограниченность сверху: $a_n < 2$ для всех $n$ (индукция)

База: $a_1 = 1 < 2$ .

Шаг: пусть $a_k < 2$ . Тогда $2 + a_k < 4$ , значит $a_{k+1} = \sqrt{2 + a_k} < \sqrt{4} = 2$ .

По индукции $a_n < 2$ при всех $n$ . (Заодно $a_n > 0$ , так как под корнем стоит положительное число.)

Монотонность: последовательность возрастает

Сравним $a_{n+1}$ и $a_n$ , оценив их разность через знак. Поскольку обе величины положительны, удобно сравнить квадрат и сам член:

a_{n+1}^2 - a_n^2 = (2 + a_n) - a_n^2 = -(a_n^2 - a_n - 2) = -(a_n - 2)(a_n + 1).

На шаге 1 доказано $0 < a_n < 2$ , поэтому $(a_n - 2) < 0$ и $(a_n + 1) > 0$ , откуда вся скобка с минусом положительна:

a_{n+1}^2 - a_n^2 > 0 \implies a_{n+1} > a_n

(переход к самим членам законен, так как оба положительны). Последовательность строго возрастает.

Существование предела

Последовательность возрастает и ограничена сверху числом $2$ , следовательно, по теореме о пределе монотонной ограниченной последовательности она сходится. Обозначим предел $L$ (причём $0 < L \leqslant 2$ ).

Нахождение предела

Перейдём к пределу в рекуррентном соотношении $a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$ . Так как $a_{n+1} \to L$ и $a_n \to L$ , получаем уравнение неподвижной точки:

L = \sqrt{2 + L} \implies L^2 = 2 + L \implies L^2 - L - 2 = 0 \implies (L-2)(L+1) = 0.

Корни $L = 2$ и $L = -1$ . Так как все члены положительны и $L > 0$ , корень $L = -1$ отбрасываем.

Ответ: последовательность сходится, $\lim\limits_{n\to\infty} a_n = 2$ .

Пример 6. Бесконечно убывающая ГП: периодическая дробь

Представь бесконечную периодическую десятичную дробь $0{,}4(6) = 0{,}4666\ldots$ в виде обыкновенной дроби, используя сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Пример 7. Прогрессия с параметром (анонсированный

q=\cos x

)

При каких $x \in [0; 2\pi)$ сумма бесконечной геометрической прогрессии

1 + \cos x + \cos^2 x + \cos^3 x + \ldots

существует и равна $\dfrac{4}{3}$ ?

Условие существования суммы

Здесь знаменатель прогрессии $q = \cos x$ — переменный, поэтому сначала нужно оговорить условие сходимости, и отдельно проверить вырожденный случай $q = 1$ (на который намекает sidenote выше).

Бесконечная ГП сходится тогда и только тогда, когда $|q| < 1$ , то есть $|\cos x| < 1$ . Это исключает $\cos x = \pm 1$ (то есть $x \neq 0,\ x \neq \pi$ на промежутке $[0;2\pi)$ ). При $\cos x = 1$ сумма $1 + 1 + 1 + \ldots$ бесконечна — формула неприменима; этот случай отсекаем заранее.

Применяем формулу

При $|\cos x| < 1$ первый член $b_1 = 1$ , знаменатель $q = \cos x$ :

S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{1}{1 - \cos x}.

По условию $S = \dfrac{4}{3}$ :

\frac{1}{1 - \cos x} = \frac{4}{3} \implies 1 - \cos x = \frac{3}{4} \implies \cos x = \frac{1}{4}.

Отбираем корни на промежутке

Значение $\cos x = \dfrac{1}{4}$ удовлетворяет $|\cos x| < 1$ (условие сходимости выполнено), поэтому корни годятся. На промежутке $[0; 2\pi)$ :

x = \arccos\frac{1}{4} \quad\text{и}\quad x = 2\pi - \arccos\frac{1}{4}.

Ответ: $x = \arccos\dfrac{1}{4}$ или $x = 2\pi - \arccos\dfrac{1}{4}$ .

Пример 8. Последовательность с пропущенными членами

Последовательность $a_1, a_2, a_3, \ldots$ получается из последовательности натуральных чисел вычёркиванием всех полных квадратов (то есть $a_1 = 2$ , $a_2 = 3$ , $a_3 = 5$ , $a_4 = 6$ , $a_5 = 7$ , $a_6 = 8$ , $a_7 = 10$ и т.д.). Найди $a_{1000}$ .

Частые ошибки

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Необоснованное деление на

q-1

Ошибка: при решении уравнения вида $b_1 + b_1 q + b_1 q^2 = 7$ записать левую часть по формуле суммы $\dfrac{b_1(q^3-1)}{q-1} = 7$ и умножить крест-накрест, не проверив $q=1$ . Правильно: формула суммы ГП с дробями работает только при $q \neq 1$ . Если $q$ неизвестно, всегда начинай с рассмотрения двух случаев: 1) $q=1 \implies S_n = n \cdot b_1$ ; 2) $q \neq 1 \implies$ применяй формулу дроби.

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря корней при

d=0

или

q < 0

Ошибка: считать, что раз прогрессия геометрическая, её знаменатель обязательно положителен. Правильно: знаменатель ГП может быть отрицательным (тогда знаки членов чередуются: $2, -4, 8, -16$ ). Арифметическая прогрессия может иметь шаг $d=0$ (стационарная последовательность $5, 5, 5, 5$ ). Не отбрасывай такие корни алгебраических систем, если в условии явно не сказано «строго возрастающая/убывающая». И наоборот — если в условии есть монотонность, то отбрасывать корень нужно именно по ней и явно это проговаривать (см. разбор корня $d=-21$ в Примере 1: он даёт законную ГП, но отсекается требованием возрастания).

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Применение

S=\dfrac{b_1}{1-q}

без проверки

|q|<1

Ошибка: записать сумму бесконечной ГП по формуле $\dfrac{b_1}{1-q}$ , не убедившись, что $|q|<1$ . При $|q| \geqslant 1$ ряд расходится, и «сумма» не существует — формула выдаёт бессмысленное число. Правильно: для бесконечной ГП первым делом выпиши условие сходимости $|q|<1$ (если $q$ зависит от параметра — это неравенство на параметр, см. Пример 7), и только затем применяй формулу. Конечная сумма $S_n$ существует всегда, бесконечная $S$ — только при $|q|<1$ .

Оформление под рубрику ДВИ

ДВИ оценивают по outcomes-рубрике с частичными баллами («±»): засчитывают не финальный ответ, а корректную логическую цепочку с обоснованиями. Лист формул не выдают, поэтому каждую нестандартную формулу полезно либо вывести (см. блок «Вывод формул сумм»), либо явно сослаться на стандартный факт.

АЛГОРИТМ

Эталон полного решения на прогрессии

Введи переменные и явно запиши, что они означают ( $a_1, d$ или $b_1, q$ ; для трёх членов АП — симметрично $a-d, a, a+d$ ).
Выпиши ограничения из условия сразу: $q \neq 0$ , $b_1 \neq 0$ , $d>0$ при «возрастающая», $|q|<1$ для бесконечной суммы.
Составь уравнения/систему, переводя каждое предложение условия в формулу. Следи за равносильностью переходов.
Реши систему, не теряя корней квадратных уравнений для $d$ или $q$ .
Отбери корни по ограничениям шага 2 — и обоснуй каждый отброшенный корень (почему именно он не подходит: нарушает монотонность? выходит за ОДЗ? делает $q=1$ ?).
Проверь найденное решение подстановкой в исходное условие.
Запиши ответ в требуемом виде.

ЧАСТАЯ ОШИБКА

За что снимают «±» (теряют часть баллов)

Деление на $(q-1)$ или $(1-q)$ без оговорки $q\neq 1$ — даже если ответ верный, потерян случай $q=1$ .
Применение $S=\frac{b_1}{1-q}$ без проверки $|q|<1$ — отсутствует обоснование сходимости.
«Молчаливое» отбрасывание корня — корень отброшен, но не сказано, какое именно условие он нарушает (как $d=-21$ в Примере 1).
Угаданная формула без доказательства — индукция декларирована, но не проведена (нет одного из четырёх пунктов: база / предположение / шаг / вывод).
Потеря серии решений в тригонометрии при переменном $q=\cos x$ (не записаны оба значения $x$ на периоде).
Нет проверки/обоснования единственности, когда условие (например, возрастание) гарантирует единственный корень — это стоит проговорить.

Что запомнить

Три члена АП: если в задаче фигурируют 3 или 5 членов арифметической прогрессии, обозначай их симметрично относительно центрального: $a-d, a, a+d$ . Это моментально упростит уравнения сумм.
Телескопы: если в задаче просят сложить гигантское количество дробей/корней — не паникуй. Ищи разность $f(k) - f(k+1)$ , выписывай первые 3 и последние 2 слагаемых явно, и вычёркивай диагонально всё, что сокращается.
Бесконечная ГП: формула $S=\dfrac{b_1}{1-q}$ работает только при $|q|<1$ ; для периодической дроби выдели непериодическую часть и геометрический «хвост».
Рекурренты: посчитай первые 4-5 членов. Если формула угадывается — докажи индукцией; если нет — доказывай монотонность + ограниченность и ищи предел из $L=f(L)$ .
Характеристические свойства работают быстрее, чем переход к $a_1$ и $d$ , если даны только соседние члены прогрессий.

Стратегия на ДВИ

СОВЕТ

Подход к нестандартным последовательностям

В текстовых задачах на прогрессии проверяющие строго смотрят на равносильность переходов при решении алгебраических систем. Нельзя терять решения квадратных уравнений для $q$ или $d$ .
Если тебе попалась абстрактная рекуррентная последовательность (как в Примере 4 вида $a_{n+1} = \frac{a_n}{1+a_n}$ или Примере 5 вида $a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$ ), всегда вычисляй на черновике первые 4-5 значений.
Увидев закономерность (например, $a_n = \frac{1}{n}$ ), не пиши «очевидно, что общая формула такая-то». Докажи её при помощи метода математической индукции или строгих алгебраических оценок. За угаданный, но не доказанный ответ баллов не дадут.
Для предела рекуррентной последовательности сначала докажи, что предел существует (монотонность + ограниченность), и только потом находи его значение из уравнения неподвижной точки $L=f(L)$ — иначе можно «найти» предел у расходящейся последовательности.

Проверь себя

Чему равна сумма бесконечной геометрической прогрессии с $b_1 = 6$ и $q = \dfrac{1}{3}$ ?
При каком условии применима формула $S = \dfrac{b_1}{1-q}$ для бесконечной ГП?
Как удобнее обозначить три последовательных члена арифметической прогрессии, если известна их сумма?
Последовательность задана: $a_1 = 1$ , $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{1 + a_n}$ . Чему равно $a_4$ ?

Последовательности

Суть темы

Основные формулы

Вывод формул сумм (если забыл под стрессом)

Главные методы решения

1. Переход к базовым переменным

2. Метод «телескопических» сумм

3. Исследование рекуррентных соотношений

4. Метод математической индукции

Примеры разбора задач

Вводим симметричные переменные

Составляем уравнение по свойству ГП

Решаем квадратное и отбираем корень

Проверяем отброшенный корень и записываем ответ

Находим общий вид слагаемого

Раскладываем на разность дробей

Схлопываем телескопическую сумму

Домножаем на сопряжённое

Схлопываем телескоп

Угадываем формулу на черновике

Доказываем формулу индукцией

План решения

Ограниченность сверху: $a_n < 2$ для всех $n$ (индукция)

Монотонность: последовательность возрастает

Существование предела

Нахождение предела

Раскладываем дробь в геометрический ряд

Суммируем бесконечно убывающую ГП

Складываем части и проверяем

Условие существования суммы

Применяем формулу

Отбираем корни на промежутке

Связываем номер члена и его значение

Оцениваем количество вычеркнутых квадратов

Проверяем кандидата

Частые ошибки

Оформление под рубрику ДВИ

Что запомнить

Стратегия на ДВИ

Последовательности

Суть темы

Основные формулы

Вывод формул сумм (если забыл под стрессом)

Главные методы решения

1. Переход к базовым переменным

2. Метод «телескопических» сумм

3. Исследование рекуррентных соотношений

4. Метод математической индукции

Примеры разбора задач

Вводим симметричные переменные

Составляем уравнение по свойству ГП

Решаем квадратное и отбираем корень

Проверяем отброшенный корень и записываем ответ

Находим общий вид слагаемого

Раскладываем на разность дробей

Схлопываем телескопическую сумму

Домножаем на сопряжённое

Схлопываем телескоп

Угадываем формулу на черновике

Доказываем формулу индукцией

План решения

Ограниченность сверху: an<2a_n < 2an​<2 для всех nnn (индукция)

Монотонность: последовательность возрастает

Существование предела

Нахождение предела

Раскладываем дробь в геометрический ряд

Суммируем бесконечно убывающую ГП

Складываем части и проверяем

Условие существования суммы

Применяем формулу

Отбираем корни на промежутке

Связываем номер члена и его значение

Оцениваем количество вычеркнутых квадратов

Проверяем кандидата

Частые ошибки

Оформление под рубрику ДВИ

Что запомнить

Стратегия на ДВИ

Ограниченность сверху: $a_n < 2$ для всех $n$ (индукция)