Треугольники

Относится к заданиям: 2, 5, 18, 95

Содержание

Алгебраический подход к планиметрии
Главные метрические теоремы и формулы
Замечательные точки и линии
Признаки подобия и равенства
Алгоритм решения методом уравнений
Примеры разбора задач
Частые ошибки
Что запомнить
Оформление под рубрику ДВИ
Стратегия на ДВИ

Алгебраический подход к планиметрии

Задачи по планиметрии на ДВИ МГУ чаще всего требуют не хитрых дополнительных построений, а уверенного владения алгебраическим методом. Суть метода: ты переводишь геометрическое условие на язык алгебры, составляешь систему уравнений относительно элементов треугольника (длин сторон, углов, площади) и решаешь её.

Чтобы этот подход работал, нужно держать в голове арсенал метрических теорем. Лист с формулами на экзамене не выдают.

Главные метрические теоремы и формулы

Для произвольного треугольника $ABC$ со сторонами $a, b, c$ (лежащими против соответствующих углов) и полупериметром $p = \dfrac{a+b+c}{2}$ базовыми являются следующие соотношения.

Из цепочки формул площади можно легко выражать радиусы. Например, для поиска $R$ есть две удобные возможности: из формулы $S = \dfrac{abc}{4R}$ (тогда $R = \dfrac{abc}{4S}$ ) или из расширенной теоремы синусов $2R = \dfrac{a}{\sin A}$ . Аналогично радиус вписанной окружности всегда даёт связка $r = \dfrac{S}{p}$ (см. справочник, §8).

Произвольный треугольник с обозначениями

Медианы и биссектрисы также выражаются через стороны аналитически. На ДВИ эти формулы часто позволяют свести задачу к простому уравнению.

Однако на ДВИ гораздо чаще нужна не длина биссектрисы, а её главное свойство деления стороны. Это базовый инструмент для задач на отношения отрезков.

ВАЖНОЕ

Теорема о биссектрисе: деление противоположной стороны

Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон. Если биссектриса из вершины $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $D$ , то

\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{c}{b}.

Отсюда сразу получаются длины отрезков: $BD = \dfrac{ac}{b+c}$ , $DC = \dfrac{ab}{b+c}$ (здесь $a = BC$ ).

Длину самой биссектрисы из $A$ удобно искать через теорему Стюарта (см. ниже) в компактной форме:

AD^2 = AB\cdot AC - BD\cdot DC = bc - BD\cdot DC.

Биссектриса угла A делит сторону BC в отношении AB:AC

Для задач на отношения отрезков и конкурентность чевиан алгебраический аппарат дополняют две классические теоремы.

ВАЖНОЕ

Теоремы Менелая и Чевы

Менелай. Если прямая-секущая пересекает прямые, содержащие стороны $\triangle ABC$ (или их продолжения), в точках $C_1\in AB$ , $A_1\in BC$ , $B_1\in CA$ , то

\frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\frac{CB_1}{B_1A} = 1.

Теорема Менелая — про коллинеарность трёх точек (лежат на одной прямой).

Чева. Чевианы $AA_1$ , $BB_1$ , $CC_1$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

\frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\frac{CB_1}{B_1A} = 1.

Теорема Чевы — про конкурентность (отрезки через одну точку). Отношения берут по обходу контура; в формуле Менелая одна из точек лежит на продолжении стороны.

Менелай и Чева: секущая и три конкурентные чевианы

Замечательные точки и линии

Готовые факты о замечательных точках треугольника часто сокращают выкладки на ДВИ.

ВАЖНОЕ

Центроид, инцентр, формула Эйлера

Центроид (точка пересечения медиан) делит каждую медиану в отношении $2:1$ , считая от вершины: если $M$ — центроид и $m_a$ — медиана из $A$ , то расстояние от $A$ до $M$ равно $\dfrac{2}{3}m_a$ .
Инцентр (точка пересечения биссектрис) — центр вписанной окружности; он равноудалён от всех трёх сторон на расстояние $r$ .
Ортоцентр — точка пересечения высот.
Связь радиусов и расстояния между центрами (формула Эйлера):

OI^2 = R^2 - 2Rr,

где $O$ — центр описанной, $I$ — центр вписанной окружности. Отсюда мгновенно следует неравенство Эйлера $R \geqslant 2r$ (равенство — только для правильного треугольника).

Признаки подобия и равенства

Алгебраический метод опирается на подобие как на источник пропорций. Держи признаки в активной памяти — на ДВИ их применение нужно называть явно, иначе рубрика снимает балл за необоснованный переход.

ВАЖНОЕ

Признаки подобия и равенства треугольников

Подобие ( $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ ):

по двум углам (если $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$ );
по двум сторонам и углу между ними (пропорциональность $\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1}$ и $\angle A = \angle A_1$ );
по трём пропорциональным сторонам.

При подобии с коэффициентом $k = \dfrac{AB}{A_1B_1}$ : сходственные линейные элементы относятся как $k$ , а площади — как $k^2$ .

Равенство — те же признаки с заменой пропорциональности на равенство (по двум сторонам и углу между ними; по стороне и двум прилежащим углам; по трём сторонам).

Алгоритм решения методом уравнений

АЛГОРИТМ

Алгоритм составления системы

Выбери базис. Обозначь неизвестные ключевые элементы за переменные (обычно это длины сторон $x, y$ или части стороны, на которые её делит высота/биссектриса).
Переведи условие в формулы. Запиши все данные задачи через выбранные переменные, используя теоремы косинусов/синусов и формулы площади.
Составь систему. Если нужно найти две стороны, тебе понадобятся два независимых уравнения. Если в задаче фигурирует медиана, сразу пиши формулу медианы; если углы — теорему синусов или косинусов; если биссектриса делит сторону — теорему о биссектрисе.
Реши алгебраически. Часто системы в геометрии решаются заменой переменных (например, поиск суммы $x+y$ и произведения $xy$ для использования теоремы Виета).
Проверь геометрию. Полученные корни должны быть положительными, и для них должно выполняться неравенство треугольника (сумма любых двух сторон больше третьей). Если конфигурация задана не однозначно (см. ниже), не теряй второй случай.

Примеры разбора задач

Начнём с классической связки «площадь + теорема косинусов», которая показывает суть алгебраического подхода.

Пример 1. Связка площади и теоремы косинусов

Условие. В треугольнике $ABC$ известна площадь $S = 10\sqrt{3}$ , угол $\angle C = 60^\circ$ , а сумма квадратов сторон $BC^2 + AC^2 = 89$ . Найдите длину стороны $AB$ .

Следующий пример иллюстрирует, как знание специфических формул для прямоугольного треугольника избавляет от сложных геометрических построений.

Пример 2. Прямоугольный треугольник и окружность

Условие. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $13$ , а радиус вписанной окружности равен $2$ . Найдите площадь этого треугольника.

Вводим обозначения

Пусть катеты равны $a$ и $b$ , гипотенуза $c = 13$ , вписанный радиус $r = 2$ . Требуется найти площадь $S = \dfrac{1}{2}ab$ . То есть достаточно найти произведение катетов.

Прямоугольный треугольник с вписанной окружностью

Находим сумму катетов через радиус

Воспользуемся алгебраической формулой радиуса вписанной окружности для прямоугольного треугольника:

r = \frac{a + b - c}{2} \implies 2 = \frac{a + b - 13}{2}

Отсюда находим сумму катетов:

a + b = 4 + 13 = 17

Составляем симметричную систему

По теореме Пифагора сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

a^2 + b^2 = c^2 = 13^2 = 169

Теперь у нас есть симметричная система: сумма $a+b = 17$ и сумма квадратов $a^2+b^2 = 169$ . Возведём первое уравнение в квадрат:

(a+b)^2 = 17^2 \implies a^2 + 2ab + b^2 = 289

Подставим $a^2 + b^2 = 169$ :

169 + 2ab = 289 \implies 2ab = 120 \implies ab = 60

Вычисляем площадь

Площадь прямоугольного треугольника:

S = \frac{1}{2}ab = \frac{60}{2} = 30

Альтернативный способ: Площадь можно найти по формуле $S = p \cdot r$ , где полупериметр $p = \dfrac{a+b+c}{2} = \dfrac{17+13}{2} = 15$ . Тогда $S = 15 \cdot 2 = 30$ .

Третий пример — задача уровня ДВИ, объединяющая подобие и метрические формулы.

Пример 3. Комбинация подобия и метрики

Условие. В треугольнике $ABC$ проведена медиана $AE$ . Известно, что $\angle BAE = \angle BCA$ , длина стороны $AB = 4$ , а $\cos \angle B = \dfrac{1}{4}$ . Найдите длину стороны $AC$ .

Вводим обозначения

Пусть $BC = a$ , $AC = b$ , $AB = c = 4$ . Так как $AE$ — медиана, $BE = EC = \dfrac{a}{2}$ .

Ищем подобные треугольники

Посмотрим на треугольники $\triangle ABE$ и $\triangle CBA$ . У них общий угол $\angle B$ . По условию $\angle BAE = \angle BCA$ . Следовательно, треугольники подобны по двум углам (первый признак подобия): $\triangle ABE \sim \triangle CBA$ .

Записываем отношение сторон

Из подобия вытекает пропорция сходственных сторон:

\frac{AB}{CB} = \frac{BE}{AB} = \frac{AE}{CA}

Подставим известные данные $AB = 4$ , $CB = a$ , $BE = \dfrac{a}{2}$ :

\frac{4}{a} = \frac{a/2}{4} \implies \frac{4}{a} = \frac{a}{8} \implies a^2 = 32 \implies a = 4\sqrt{2}

Значит, $BC = 4\sqrt{2}$ , а $BE = 2\sqrt{2}$ .

Применяем теорему косинусов

Рассмотрим $\triangle ABE$ . Мы знаем две его стороны ( $AB = 4$ , $BE = 2\sqrt{2}$ ) и косинус угла между ними ( $\cos B = \dfrac{1}{4}$ ). Найдём сторону $AE$ по теореме косинусов:

AE^2 = AB^2 + BE^2 - 2 \cdot AB \cdot BE \cdot \cos B

AE^2 = 4^2 + (2\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 4 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \frac{1}{4}

AE^2 = 16 + 8 - 4\sqrt{2} = 24 - 4\sqrt{2}

Вычисляем AC

Из пропорции подобия (шаг «Записываем отношение сторон») возьмём крайние части:

\frac{AB}{CB} = \frac{AE}{AC} \implies \frac{4}{4\sqrt{2}} = \frac{AE}{AC} \implies \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{AE}{AC}

Отсюда $AC = AE\sqrt{2}$ . Возведём в квадрат:

AC^2 = 2AE^2 = 2(24 - 4\sqrt{2}) = 48 - 8\sqrt{2}

Следовательно, $AC = \sqrt{48 - 8\sqrt{2}}$ .

Четвёртый пример вводит в работу теорему о биссектрисе и теорему Стюарта — связку, которая закрывает целый класс ДВИ-задач на чевианы.

Пример 4. Биссектриса: отношение и длина

Условие. В треугольнике $ABC$ стороны $AB = 6$ и $AC = 4$ , $BC = 5$ . Биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $D$ . Найдите длины отрезков $BD$ , $DC$ и длину биссектрисы $AD$ .

Пятый пример — задача на отношения отрезков теоремой Менелая, типовой алгебраический инструмент ДВИ.

Пример 5. Теорема Менелая на отношения отрезков

Условие. В треугольнике $ABC$ точка $P$ лежит на стороне $AB$ , причём $AP:PB = 1:2$ , а точка $Q$ — на стороне $BC$ , причём $BQ:QC = 3:1$ . Прямая $PQ$ пересекает прямую $AC$ в точке $R$ (вне отрезка $AC$ ). В каком отношении точка $R$ делит сторону $AC$ , то есть найдите $CR:RA$ .

Шестой пример демонстрирует то, о чём предупреждает раздел ошибок: реальный отбор корней и проверку существования.

Пример 6. Отбор корней и неравенство треугольника

Условие. В прямоугольном треугольнике один катет на $7$ больше другого, а гипотенуза на $8$ больше меньшего катета. Найдите стороны треугольника.

Седьмой пример показывает противоположную ловушку — когда отбрасывать корень нельзя, потому что задача допускает две конфигурации.

Пример 7. Неоднозначность конфигурации (два треугольника)

Условие. В треугольнике $ABC$ сторона $AB = 7$ , сторона $AC = 5$ , а косинус угла $B$ равен $\dfrac{11}{14}$ . Найдите все возможные значения длины стороны $BC$ .

Составляем уравнение по теореме косинусов

Две конфигурации треугольника при данных AB, AC и угле B

Обозначим $BC = x$ . Здесь дан угол $B$ , прилежащий к искомой стороне $BC$ и к известной стороне $AB$ , а напротив угла $B$ лежит известная сторона $AC = 5$ . Это конфигурация «сторона–сторона–угол» (SSA), которая может давать два треугольника. Запишем теорему косинусов для стороны $AC$ (она лежит против угла $B$ ):

AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos B.

Решаем квадратное уравнение

Подставим $AC = 5$ , $AB = 7$ , $\cos B = \dfrac{11}{14}$ :

25 = 49 + x^2 - 2\cdot 7\cdot x\cdot\frac{11}{14} = 49 + x^2 - 11x.

Приведём к стандартному виду:

x^2 - 11x + 24 = 0 \implies x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 96}}{2} = \frac{11 \pm 5}{2}.

Получаем два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = 8$ .

Проверяем обе конфигурации

Оба корня положительны. Проверим неравенство треугольника для каждого:

$x = 3$ : стороны $AB = 7$ , $AC = 5$ , $BC = 3$ . Условие $5 + 3 > 7$ , $3 + 7 > 5$ , $5 + 7 > 3$ выполнено — треугольник существует.
$x = 8$ : стороны $7$ , $5$ , $8$ . Все неравенства выполнены — треугольник существует.

Оба значения геометрически допустимы (на чертеже им отвечают точки $C_1$ и $C_2$ ). Отбрасывать один из корней нельзя — это и есть классическая ловушка SSA: потеря второй конфигурации стоит частичного балла.

Восьмой пример — задача на доказательство. ДВИ любит формулировки «докажите, что…», и здесь важно не довести до числа, а строго замкнуть каждый логический переход.

Пример 8. Задача на доказательство

Условие. Докажите, что если медиана треугольника, проведённая к некоторой стороне, равна половине этой стороны, то треугольник прямоугольный.

Формализуем условие

Медиана к стороне равна её половине => прямой угол

Дано. Треугольник $ABC$ ; $AM$ — медиана к стороне $BC$ , и $AM = \dfrac{1}{2}BC$ . Требуется доказать. $\angle A = 90^\circ$ (угол $A$ , противолежащий стороне $BC$ , прямой).

Применяем формулу медианы

Обозначим стороны: $BC = a$ , $CA = b$ , $AB = c$ . По условию медиана к стороне $a$ удовлетворяет

m_a = \frac{a}{2} \implies m_a^2 = \frac{a^2}{4}.

Подставим формулу квадрата медианы (её на ДВИ выводим в одну строку, ведь лист формул не выдаётся):

m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4} = \frac{a^2}{4}.

Умножим обе части на $4$ :

2b^2 + 2c^2 - a^2 = a^2 \implies 2b^2 + 2c^2 = 2a^2 \implies b^2 + c^2 = a^2.

Замыкаем доказательство обратной теоремой Пифагора

Получено равенство $b^2 + c^2 = a^2$ , где $a = BC$ — сторона, противолежащая вершине $A$ . По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник со сторонами, удовлетворяющими $b^2 + c^2 = a^2$ , прямоугольный, причём прямой угол лежит против наибольшей стороны $a$ , то есть при вершине $A$ .

Следовательно, $\angle A = 90^\circ$ , что и требовалось доказать. $\blacksquare$

Геометрический смысл

Замечание. Равенство $AM = \dfrac{1}{2}BC$ означает, что $A$ лежит на окружности с диаметром $BC$ и центром в середине $M$ . Угол, опирающийся на диаметр, прямой — это второй, чисто геометрический способ доказательства того же факта.

Частые ошибки

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря проверки существования

Ошибка: При решении квадратного (или после возведения в квадрат — иррационального) уравнения относительно длины стороны получить два корня и записать оба в ответ, не проверив положительность и неравенство треугольника. Правильно: Длина строго положительна — отрицательный или нулевой корень посторонний (см. Пример 6: корень $x = -3$ отброшен). Для оставшихся корней проверяй неравенство треугольника: $a+b>c$ , $a+c>b$ , $b+c>a$ . Если хотя бы одно не выполняется — треугольника не существует, корень посторонний.

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря второй конфигурации (ловушка SSA)

Ошибка: В задаче, где даны две стороны и угол, не заключённый между ними (или известны сторона, сторона и угол напротив одной из них), получить квадратное уравнение с двумя положительными корнями и оставить только один — «отбросив» второй как лишний. Правильно: Проверяй каждый положительный корень на неравенство треугольника. Если оба корня дают существующий треугольник (как в Примере 7: $BC = 3$ и $BC = 8$ ), оба идут в ответ. Потеря второй конфигурации — типовая причина потери баллов на ДВИ. Геометрически это две точки пересечения дуги (радиус — данная сторона) со вторым лучом угла.

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Необоснованное извлечение корня и знак косинуса

Ошибка: В теореме косинусов забыть удвоенное произведение или знак минус перед ним. Извлекая корень из выражения вида $x^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ , написать $\pm$ для длины отрезка. Правильно: Длина всегда строго положительна, $\pm$ для неё недопустим. При этом помни: если угол $C$ тупой, то $\cos C < 0$ (например, $\cos C = -\tfrac12$ ), и минус в формуле «переворачивается» в плюс: $c^2 = a^2+b^2 + ab$ . Внимательно следи за знаком косинуса — потеря тупого случая ведёт к неверной стороне.

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Необоснованный признак подобия

Ошибка: Сослаться на подобие треугольников «на глаз», не назвав признак и не указав, какие именно элементы равны/пропорциональны. Правильно: Всегда называй признак явно («подобны по двум углам: общий угол $B$ и $\angle BAE = \angle BCA$ ») и проверяй соответствие вершин в записи $\triangle ABE \sim \triangle CBA$ — порядок букв задаёт сходственные стороны. На ДВИ рубрика снимает балл за необоснованную пропорцию.

Что запомнить

Симметричные системы: В задачах на площади и периметры часто возникают системы вида $\{x+y = A, \ xy = B\}$ . Решай их подстановкой или через теорему Виета.
Если дана медиана — сразу вспоминай формулу удвоенной суммы квадратов $4m_a^2 = 2b^2+2c^2-a^2$ или достраивай треугольник до параллелограмма.
Если в задаче биссектриса — её главное свойство $\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$ , а длину быстро даёт $AD^2 = bc - BD\cdot DC$ (Стюарт).
Отношения отрезков и конкурентность чевиан — это Менелай (коллинеарность) и Чева (одна точка).
Центроид делит медиану $2:1$ от вершины; для радиусов есть готовая связка $OI^2 = R^2 - 2Rr$ (откуда $R \geqslant 2r$ ).
Если треугольник прямоугольный, формулы $R = \dfrac{c}{2}$ и $r = \dfrac{a+b-c}{2}$ экономят половину времени на вычисления.

Оформление под рубрику ДВИ

ДВИ оценивается по outcomes-рубрике: за каждый завершённый и обоснованный логический блок ставится плюс, за пропуск или необоснованный переход — «±» (частичный балл) или минус. В геометрии важно не только довести до числа, но и строго обосновать каждый шаг и закрыть все конфигурации.

АЛГОРИТМ

Эталон полного решения планиметрической задачи

Дано — найти — чертёж. Выпиши данные в обозначениях ( $a, b, c$ , углы), сделай аккуратный чертёж с обозначениями. Чертёж — часть решения: на нём видно, какие конфигурации возможны.
Обоснование каждого факта. Признак подобия/равенства — назови явно. Применяешь теорему о биссектрисе, Менелая, Стюарта — сошлись на неё и проверь условия применимости. Нетривиальную формулу (медиана, биссектриса) — выведи в одну строку, лист формул не выдаётся.
Аккуратные преобразования. При возведении в квадрат помечай переход как следствие и проверяй потом; при делении на выражение с переменной разбирай случай «делитель $= 0$ ».
Полный разбор случаев. Если конфигурация неоднозначна (SSA, острый/тупой угол, точка внутри или на продолжении стороны), разбери каждый случай до конца. Пропущенный случай рубрика видит сразу.
Проверка и отбор. Положительность длин, неравенство треугольника, ОДЗ углов ( $0 < \alpha < 180^\circ$ ). Отсей посторонние корни явно.
Ответ в требуемой форме. Все найденные значения (а если их несколько — все), упрости радикалы до простейшего вида (например, $\sqrt{48 - 8\sqrt2}$ дальше не упрощается — оставляем как есть).

ЧАСТАЯ ОШИБКА

За что снимают «±»

Сослался на подобие/равенство без указания признака или с неверным порядком вершин.
Применил теорему о биссектрисе/Менелая/Чевы без проверки условий (точка на стороне, а не на продолжении, и т.п.).
Получил два положительных корня и оставил один, не проверив, не существуют ли обе конфигурации (ловушка SSA).
Записал $\pm$ для длины отрезка или потерял тупой случай (знак косинуса).
Не проверил неравенство треугольника для найденной тройки сторон.
Использовал формулу (медианы, биссектрисы, Стюарта) без вывода там, где её знание под сомнением — лист формул не выдаётся.
Не выписал ОДЗ для углов или длин и сделал «обоснование задним числом».

Стратегия на ДВИ

СОВЕТ

Алгебра решает

Если геометрическая идея (дополнительное построение, хитрая окружность) не приходит в голову за первые 5–7 минут размышлений над планиметрией (а это одна из геометрических задач варианта), вводи переменные и пиши формулы. Проверяющие оценивают полноту доказательства. Даже если алгебраический путь длиннее, он методичен и с меньшей вероятностью приведёт к логическим дырам, за которые снимают баллы. Внимательно следи за ОДЗ в геометрии: аргументы тригонометрических функций — это углы треугольника ( $0 < \alpha < 180^\circ$ ), длины отрезков $x > 0$ . И помни про неоднозначность конфигурации: где задача допускает два треугольника, в ответе должны быть оба.

Проверь себя

Биссектриса из вершины $A$ треугольника $ABC$ пересекает сторону $BC$ в точке $D$ . Чему равно отношение $\dfrac{BD}{DC}$ ?
В прямоугольном треугольнике с катетами $a$ , $b$ и гипотенузой $c$ радиус вписанной окружности равен
Дана конфигурация SSA: две стороны и угол не между ними. Квадратное уравнение на третью сторону дало два положительных корня, и оба удовлетворяют неравенству треугольника. Что писать в ответ?
Формула Эйлера связывает расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей: $OI^2 = R^2 - 2Rr$ . Какое неравенство из неё следует?

Треугольники

Алгебраический подход к планиметрии

Главные метрические теоремы и формулы

Замечательные точки и линии

Признаки подобия и равенства

Алгоритм решения методом уравнений

Примеры разбора задач

Вводим обозначения

Находим произведение сторон из площади

Применяем теорему косинусов

Вводим обозначения

Находим сумму катетов через радиус

Составляем симметричную систему

Вычисляем площадь

Вводим обозначения

Ищем подобные треугольники

Записываем отношение сторон

Применяем теорему косинусов

Вычисляем AC

Делим сторону теоремой о биссектрисе

Находим длину биссектрисы

Контролируем формулой биссектрисы

Записываем теорему Менелая

Подставляем известные отношения

Сверяем с чертежом

Составляем уравнение

Решаем квадратное уравнение

Отбираем корни

Проверяем существование

Составляем уравнение по теореме косинусов

Решаем квадратное уравнение

Проверяем обе конфигурации

Формализуем условие

Применяем формулу медианы

Замыкаем доказательство обратной теоремой Пифагора

Геометрический смысл

Частые ошибки

Что запомнить

Оформление под рубрику ДВИ

Стратегия на ДВИ