Показательные неравенства

Содержание

Суть темы и главное свойство
Неравенства с переменным основанием
Алгоритм решения
Примеры
Частые ошибки
Что запомнить
Оформление под рубрику ДВИ
Стратегия на ДВИ

Суть темы и главное свойство

Показательные неравенства на ДВИ МГУ проверяют не только знание свойств степеней, но и умение аккуратно работать с равносильными переходами. Главный инструмент при решении любого показательного неравенства — монотонность показательной функции.

Функция $y = a^x$ (где $a > 0$ , $a \neq 1$ ) ведет себя по-разному в зависимости от основания:

При $a > 1$ функция строго возрастает. Большему значению функции соответствует больший аргумент.
При $0 < a < 1$ функция строго убывает. Большему значению функции соответствует меньший аргумент (знак неравенства меняется).

СОВЕТ

Формулируй обоснование словами

Под outcomes-рубрику ДВИ недостаточно молча заменить $a^{f}\geqslant a^{g}$ на $f\geqslant g$ . Проверяющий хочет видеть проговорённое основание перехода. Пиши явно: «так как функция $y=a^x$ при $a>1$ строго возрастает, неравенство равносильно $f(x)\geqslant g(x)$ » или «так как при $0<a<1$ функция убывает, знак меняется на противоположный: $f(x)\leqslant g(x)$ ». Эта одна фраза — и есть то «обоснование равносильности», за отсутствие которого снимают «±».

Неравенства с переменным основанием

Сложность резко возрастает, если основание степени зависит от переменной: $f(x)^{g(x)} \geqslant f(x)^{h(x)}$ . Такие неравенства называются функционально-показательными и регулярно встречаются в номерах 3 или 4 на ДВИ.

Здесь нельзя просто отбросить основание, так как мы не знаем, больше оно единицы или меньше. Необходимо рассматривать системы (перебирать случаи).

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Зачем в ветке

f(x)=1

условие «

x \in

ОДЗ показателей»

Когда основание равно единице, $1^{g(x)} = 1^{h(x)} = 1$ , и неравенство $1 \geqslant 1$ формально верно. Но это только если обе степени вообще определены в этой точке. Если показатель содержит дробь, корень или логарифм — он может быть не определён там, где $f(x)=1$ , и тогда такую точку в ответ включать нельзя.

Пример западни: в неравенстве $(x-2)^{g(x)} \geqslant (x-2)^{\,1/(x-3)}$ основание равно $1$ при $x=3$ , но показатель $\dfrac{1}{x-3}$ при $x=3$ не определён. Значит, $x=3$ выпадает из ответа, хотя «механически» казался решением. Именно для таких случаев и пишут « $x \in$ ОДЗ функций $g$ и $h$ ».

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как решать показательное неравенство

Выпиши ОДЗ. Если в показателях есть дроби, корни или логарифмы — зафиксируй ограничения в самом начале. Для функционально-показательных неравенств добавь условие на основание: $f(x) > 0$ .
Упрости показатели. Избавься от сумм и разностей в степенях по формулам $a^{x+y} = a^x \cdot a^y$ и $a^{x-y} = \dfrac{a^x}{a^y}$ .
Приведи к одному или нескольким основаниям. Если основания разные, попытайся привести их к одному (например, $4^x$ и $8^x$ сводятся к $2^{2x}$ и $2^{3x}$ ).
Распознай структуру. Возможны четыре сценария: (а) одна функция $a^x$ — делай замену $t=a^x$ ; (б) однородное неравенство (степени вида $a^{2x}$ , $a^x b^x$ , $b^{2x}$ ) — дели на старшую степень; (в) группируется на множители — выноси общий множитель; (г) разные основания, не сводимые к одному, — работай монотонностью/оценкой.
Сделай замену переменной. Если неравенство сводится к алгебраическому (одна функция), введи замену $t = a^x$ , реши неравенство относительно $t$ с учетом $t > 0$ , и только потом возвращайся к $x$ .
Сними степени. Используй равносильные переходы из формул выше, внимательно следя за знаком основания, и проговаривай ссылку на монотонность в чистовике.

Примеры

Пример 1. Замена и дробно-рациональное неравенство

Условие. Реши неравенство:

\dfrac{2^{2x+1} - 9 \cdot 2^x + 4}{2^x - 8} \geqslant 0

Пример 2. Разложение на множители и коварная ОДЗ

Условие. Реши неравенство:

(4^x - 5 \cdot 2^x + 4)\sqrt{3^{x+1} - 9} \leqslant 0

ОДЗ

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

3^{x+1} - 9 \geqslant 0 \iff 3^{x+1} \geqslant 3^2 \iff x + 1 \geqslant 2 \iff x \geqslant 1.

Анализ множителей

Произведение $A \cdot \sqrt{B} \leqslant 0$ означает, что либо корень равен нулю (тогда неравенство выполняется), либо корень строго положителен, а первый множитель неположителен.

Случай 1: $\sqrt{3^{x+1} - 9} = 0 \iff x = 1$ . При $x = 1$ левая часть обращается в ноль, что удовлетворяет нестрогому неравенству. Значит, $x = 1$ — корень.

Случай 2: $\sqrt{3^{x+1} - 9} > 0 \iff x > 1$ . Поскольку корень положителен, мы можем разделить на него обе части неравенства (знак неравенства не изменится):

4^x - 5 \cdot 2^x + 4 \leqslant 0

Пусть $t = 2^x$ , $t > 0$ . Тогда $t^2 - 5t + 4 \leqslant 0$ . Корни квадратного трехчлена $t = 1$ и $t = 4$ .

(t - 1)(t - 4) \leqslant 0 \implies 1 \leqslant t \leqslant 4

Обратная замена:

1 \leqslant 2^x \leqslant 4 \iff 2^0 \leqslant 2^x \leqslant 2^2 \iff 0 \leqslant x \leqslant 2

Пересечение с ОДЗ

Учтем условие рассматриваемого случая ( $x > 1$ ):

\begin{cases} 0 \leqslant x \leqslant 2 \\ x > 1 \end{cases} \implies x \in (1;\, 2]

Объединение ответов

Добавляем корень из первого случая ( $x=1$ ) к интервалу из второго случая:

\{1\} \cup (1;\, 2] = [1;\, 2]

Ответ: $x \in [1;\, 2]$ .

Пример 3. Переменное основание (сравнение с единицей)

Условие. Реши неравенство:

(x^2 - 5x + 7)^{x^2 - 4} \leqslant 1

Приводим к общему виду

Запишем правую часть как нулевую степень:

(x^2 - 5x + 7)^{x^2 - 4} \leqslant (x^2 - 5x + 7)^0

Здесь основание $f(x) = x^2 - 5x + 7$ , а показатели $g(x) = x^2 - 4$ и $h(x) = 0$ . Перейдем к совокупности трех систем:

Случай 1. Основание больше 1

\begin{cases} x^2 - 5x + 7 > 1 \\ x^2 - 4 \leqslant 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x^2 - 5x + 6 > 0 \\ (x-2)(x+2) \leqslant 0 \end{cases}

Решаем первое неравенство системы: корни $x = 2$ и $x = 3$ . Решение: $x \in (-\infty;\, 2) \cup (3;\, +\infty)$ . Второе неравенство: $x \in [-2;\, 2]$ . Пересечение множеств: $x \in [-2;\, 2)$ .

Случай 2. Основание от 0 до 1

(Знак неравенства для показателей меняется на противоположный).

\begin{cases} 0 < x^2 - 5x + 7 < 1 \\ x^2 - 4 \geqslant 0 \end{cases}

Условие $x^2 - 5x + 7 > 0$ выполняется при всех $x$ , так как дискриминант $D = 25 - 28 < 0$ , а старший коэффициент положителен. Остается $x^2 - 5x + 7 < 1 \iff x^2 - 5x + 6 < 0 \iff x \in (2;\, 3)$ . Второе неравенство: $x^2 - 4 \geqslant 0 \iff x \in (-\infty;\, -2] \cup [2;\, +\infty)$ .

Пересечение: $x \in (2;\, 3)$ .

Случай 3. Основание равно 1

\begin{cases} x^2 - 5x + 7 = 1 \\ x \in \RR \text{ (ОДЗ показателей)} \end{cases} \iff x^2 - 5x + 6 = 0 \iff x = 2 \text{ или } x = 3

Показатель $x^2-4$ — многочлен, определён при всех $x$ , поэтому условие « $x\in$ ОДЗ показателя» здесь ничего не отсекает (оба кандидата проходят). Проверим подстановкой: При $x = 2$ : $1^0 \leqslant 1$ — верно. При $x = 3$ : $1^5 \leqslant 1$ — верно. Следовательно, точки $x=2$ и $x=3$ входят в ответ.

Объединение

$[-2;\, 2) \cup (2;\, 3) \cup \{2;\, 3\} = [-2;\, 3]$ .

Ответ: $x \in [-2;\, 3]$ .

Пример 4. Однородное показательное неравенство

Условие. Реши неравенство:

4 \cdot 9^x - 13 \cdot 6^x + 9 \cdot 4^x \leqslant 0

Распознай однородность

Запишем основания через простые множители:

9^x = (3^x)^2, \qquad 6^x = 2^x \cdot 3^x = 3^x \cdot 2^x, \qquad 4^x = (2^x)^2.

Неравенство стало однородным второй степени относительно $3^x$ и $2^x$ :

4\,(3^x)^2 - 13\,(3^x)(2^x) + 9\,(2^x)^2 \leqslant 0.

Раздели на старшую степень

Делим обе части на $9^x = (3^x)^2$ . Так как $9^x > 0$ при любом $x$ , знак неравенства не меняется (это деление надо обосновать в чистовике словами):

4 - 13\cdot\dfrac{6^x}{9^x} + 9\cdot\dfrac{4^x}{9^x} \leqslant 0 \iff 4 - 13\left(\dfrac{2}{3}\right)^x + 9\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2x} \leqslant 0.

(Здесь использовано $\dfrac{6^x}{9^x}=\left(\dfrac{6}{9}\right)^x=\left(\dfrac23\right)^x$ и $\dfrac{4^x}{9^x}=\left(\dfrac23\right)^{2x}$ .)

Замена

Пусть $t = \left(\dfrac{2}{3}\right)^x$ , причём $t > 0$ . Получаем квадратное неравенство:

9t^2 - 13t + 4 \leqslant 0.

Дискриминант $D = 169 - 144 = 25$ , корни:

t_{1,2} = \dfrac{13 \pm 5}{18} \implies t_1 = 1,\quad t_2 = \dfrac{4}{9}.

Парабола ветвями вверх, значит $9t^2 - 13t + 4 \leqslant 0$ между корнями:

\dfrac{4}{9} \leqslant t \leqslant 1.

Оба значения положительны, условие $t>0$ выполнено автоматически — терять нечего.

Обратная замена

Возвращаемся к $x$ :

\dfrac{4}{9} \leqslant \left(\dfrac{2}{3}\right)^x \leqslant 1 \iff \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 \leqslant \left(\dfrac{2}{3}\right)^x \leqslant \left(\dfrac{2}{3}\right)^0.

Основание $\dfrac{2}{3}\in(0;1)$ — функция убывает, поэтому при снятии основания знаки неравенств меняются на противоположные:

2 \geqslant x \geqslant 0 \iff 0 \leqslant x \leqslant 2.

Ответ: $x \in [0;\, 2]$ .

Пример 5. Группировка и вынесение общего множителя

Условие. Реши неравенство:

2^x + 2^{3-x} < 9

ЗАМЕЧАНИЕ

Когда работает вынесение за скобку

Если бы основания были одинаковы, но показатели отличались на константу (например $5^{x+1} - 6\cdot 5^x + 5^{x-1} > 0$ ), технику замены заменяет вынесение наименьшей степени за скобку: $5^{x-1}(5^2 - 6\cdot 5 + 1) = 5^{x-1}\cdot(-4)$ . Тогда знак всего выражения определяется знаком числовой скобки, ведь $5^{x-1}>0$ всегда. Это тот же приём: «привести к наименьшей степени и вынести её».

Пример 6. Общий случай переменного основания (два функциональных показателя)

Условие. Реши неравенство:

x^{\,x+1} > x^{\,4}

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Как «

x\in

ОДЗ показателей» реально отсекает точку

Поменяем в условии правый показатель на $\dfrac{1}{x-1}$ : неравенство $x^{\,x+1} \geqslant x^{\,1/(x-1)}$ . Основание $f(x)=x$ равно $1$ при $x=1$ , но показатель $\dfrac{1}{x-1}$ при $x=1$ не определён. Поэтому в ветке « $f(x)=1$ » точка $x=1$ не проходит проверку ОДЗ показателей и исключается из ответа — даже несмотря на то, что « $1^{\ldots}\geqslant 1^{\ldots}$ » выглядит верным. Это и есть смысл условия « $x\in$ ОДЗ функций $g$ и $h$ ».

Пример 7. Метод монотонности: разные основания, не сводимые к одному

Условие. Реши неравенство:

3^x + 4^x > 5^x

Пример 8. Показательное неравенство с параметром

Условие. При каких $x$ выполняется неравенство (в зависимости от параметра $a > 1$ ):

4^x - (a+1)\cdot 2^x + a \leqslant 0

СОВЕТ

Полный разбор параметра — на следующий уровень

Мы рассмотрели только основную ветку $a>1$ . В полной задаче с параметром нужно разобрать все случаи: $a=1$ (тогда $(t-1)^2\leqslant 0 \Rightarrow t=1 \Rightarrow x=0$ ); $0<a<1$ (тогда $a\leqslant t\leqslant 1$ , корни меняются местами, ответ $\log_2 a \leqslant x \leqslant 0$ ); $a\leqslant 0$ (тогда корень $t=a$ не лежит в области $t>0$ , остаётся $0<t\leqslant 1$ , то есть $x\leqslant 0$ ). Схема та же — замена $t=a^x>0$ сводит к квадратному неравенству с параметром, дальше работает обычная техника расположения корней относительно границы $t>0$ .

Частые ошибки

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря условия

t > 0

при обратной замене

Ошибка: После замены $t = a^x$ решить квадратное неравенство, получить, например, $t \leqslant -1$ или $t \leqslant 3$ , и механически вернуться к $x$ , написав $a^x \leqslant -1$ или включив отрицательные $t$ . Правильно: Замена $t=a^x$ всегда несёт ограничение $t > 0$ . Отрицательную или нулевую часть ответа по $t$ обязательно отбрасывай с явным комментарием: « $t \leqslant 0$ не подходит, так как $t=a^x>0$ ». Неравенство $a^x \leqslant -1$ решений не имеет ( $\varnothing$ ), а не «любое $x$ ».

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Попытка свести к одному основанию там, где это невозможно

Ошибка: В неравенстве вида $3^x + 4^x > 5^x$ пытаться «привести к одному основанию» или ввести замену $t=a^x$ — оснований несколько и общей функции нет. Правильно: Когда основания не сводятся к одному и слагаемые не группируются, переходи к методу монотонности: дели на старшую степень, получай сумму убывающих функций, угадывай границу и доказывай единственность (см. Пример 7). Это штатный приём ДВИ, а не «тупик».

Что запомнить

Если $a > 1$ , знак при снятии основания сохраняется. Если $0 < a < 1$ — меняется на противоположный. Проговаривай это словами в чистовике: «функция $a^x$ возрастает/убывает».
Любая замена $t = a^x$ сопровождается строгим условием $t > 0$ ; часть ответа с $t \leqslant 0$ отбрасывается с комментарием.
При переменном основании $f(x)$ вводи строгую систему из трех случаев: $f(x)>1$ , $0<f(x)<1$ и $f(x)=1$ . В ветке $f(x)=1$ проверяй ОДЗ показателей — там прячется исключаемая точка.
Однородное неравенство (степени $a^{2x}$ , $a^x b^x$ , $b^{2x}$ ) дели на старшую степень — знак не меняется, так как $b^{2x}>0$ .
Слагаемые с разными показателями, но одинаковыми основаниями (например $5^{x+1}$ и $5^{x-1}$ ), всегда приводи к наименьшей степени ( $5^{x-1}$ ) и выноси ее за скобку.
Если оснований несколько и они не сводятся к одному — работай монотонностью суммы.

Оформление под рубрику ДВИ

ДВИ — письменный экзамен, оценка по outcomes-рубрике «±»: важен не только ответ, но и полнота обоснований. Лист формул не выдают, поэтому все равносильные переходы нужно мотивировать самому. Ниже — эталон того, как оформить решение показательного неравенства, чтобы не потерять «±», и список типичных снятий.

АЛГОРИТМ

Эталон полного решения

Выпиши ОДЗ до преобразований. Дробь, корень или логарифм в показателе — фиксируй ограничения сразу. Для переменного основания добавь $f(x)>0$ . Комиссия штрафует за «найденный, но не учтённый» ОДЗ.
Назови приём. Одной фразой обозначь стратегию: «введём замену $t=2^x$ », «неравенство однородное, делим на $9^x$ », «основания не сводятся — применим монотонность». Это показывает осознанность.
Обоснуй каждое деление. Делишь на $9^x$ (или на $a^x$ ) — напиши « $>0$ при любых $x$ , знак не меняется». Делишь на выражение, которое может быть нулём, — разбери этот случай отдельно.
При замене фиксируй $t>0$ . Это часть решения, а не черновик. Отброшенную ветку $t\leqslant 0$ обязательно прокомментируй.
Снимай основание со ссылкой на монотонность словами. «Так как $a^x$ при $a>1$ возрастает, переходим к $f(x)\geqslant g(x)$ » или «так как $0<a<1$ , функция убывает — знак меняется». Молчаливая замена неравенства = потеря балла.
Для переменного основания распиши все три ветки. $f>1$ , $0<f<1$ , $f=1$ (с проверкой ОДЗ показателей). Пропуск ветки $f=1$ — типичное снятие.
Аккуратно пересекай и объединяй. Пересечение с ОДЗ и условием случая, объединение ветвей — в явном виде, с проверкой граничных точек (включена / выколота).
Запиши ответ множеством. Объединение промежутков и изолированных точек, концы — строго по строгости/нестрогости неравенства.

ЧАСТАЯ ОШИБКА

За что снимают «±» на показательных неравенствах

Потерян ОДЗ дроби/корня в показателе или условие $f(x)>0$ для переменного основания.
Деление на $a^x$ / старшую степень без обоснования её положительности (даже при верном ответе).
Снято основание без ссылки на монотонность — молчаливый переход $a^f\geqslant a^g \to f\geqslant g$ без слов «возрастает/убывает».
Перепутан знак при $0<a<1$ (не поменяли неравенство при снятии убывающего основания).
Не отброшено $t\leqslant 0$ при замене $t=a^x$ , или не прокомментировано почему.
Потеряна ветка $f(x)=1$ или не проверен ОДЗ показателей в этой ветке.
Не доказана единственность границы в методе монотонности (корень угадан, но «других нет» не обосновано).

Стратегия на ДВИ

СОВЕТ

Экзаменационные приоритеты

Обоснование важнее ответа. На мехмате и ВМК голый правильный ответ без перебора случаев для переменного основания или без проверки знака на методе интервалов оценивается в 0 баллов. Расписывай системы и проговаривай монотонность.
Однородные неравенства. Если видишь степени трех видов, например $4^x$ , $6^x$ и $9^x$ (однородное неравенство: $2^{2x}$ , $2^x \cdot 3^x$ , $3^{2x}$ ), алгоритм один — дели всё на старшую функцию (например, на $9^x$ ). Поскольку $9^x > 0$ , знак неравенства не изменится, и ты получишь квадратное неравенство относительно новой переменной $t = \left(\frac{2}{3}\right)^x$ (полный разбор — Пример 4).
Группировка. Слагаемые с одинаковым основанием и сдвинутыми показателями ( $2^x$ и $2^{3-x}$ ) сводятся к одной функции через свойства степеней и замену $t=a^x$ (Пример 5).
Метод монотонности. Когда основания не сводятся к одному (например $3^x+4^x$ против $5^x$ ), дели на старшую степень и пользуйся строгой монотонностью суммы (Пример 7).
Параметр. Для ВМК/эконома показательное с параметром почти всегда сводится заменой $t=a^x>0$ к квадратному неравенству с параметром; дальше — расположение корней относительно границы $t>0$ (Пример 8).
Комбинированные задачи. Если показательная функция стоит под корнем или внутри логарифма (тип 3-4), начинай только с ОДЗ внешней функции.

Проверь себя

При каком условии в неравенстве $a^{f(x)} \geqslant a^{g(x)}$ знак меняется на противоположный при снятии основания?
Какое ограничение обязательно сопровождает замену $t = 2^x$ ?
Сколько систем входит в совокупность при решении $f(x)^{g(x)} \geqslant f(x)^{h(x)}$ с переменным основанием?
Как решается однородное неравенство $4 \cdot 9^x - 13 \cdot 6^x + 9 \cdot 4^x \leqslant 0$ ?

Показательные неравенства

Суть темы и главное свойство

Неравенства с переменным основанием

Алгоритм решения

Примеры

Приводим к общему виду и делаем замену

Решаем дробно-рациональное неравенство

Обратная замена

ОДЗ

Анализ множителей

Пересечение с ОДЗ

Объединение ответов

Приводим к общему виду

Случай 1. Основание больше 1

Случай 2. Основание от 0 до 1

Случай 3. Основание равно 1

Объединение

Распознай однородность

Раздели на старшую степень

Замена

Обратная замена

Разнеси степени

Замена

Обратная замена

ОДЗ

Случай 1. Основание больше 1: x>1x > 1x>1

Случай 2. Основание от 0 до 1: 0<x<10 < x < 10<x<1

Случай 3. Основание равно 1: x=1x = 1x=1

Объединение случаев

Почему стандартные приёмы не работают

Раздели на старшую степень

Исследуй левую часть

Угадай границу

Сними неравенство по монотонности

Замена

Разложи на множители

Реши относительно ttt с учётом параметра

Обратная замена

Частые ошибки

Что запомнить

Оформление под рубрику ДВИ

Стратегия на ДВИ

Случай 1. Основание больше 1: $x > 1$

Случай 2. Основание от 0 до 1: $0 < x < 1$

Случай 3. Основание равно 1: $x = 1$

Реши относительно $t$ с учётом параметра