Нестандартная алгебра

Содержание

О нестандартных задачах
Метод мажорант (оценок)
Замена переменной: понижаем степень и убиваем симметрию
Использование свойств функций
Векторный (скалярный) метод оценки и Коши–Буняковский
Геометрический подход
Алгоритм подхода к нестандартной задаче
Разбор примеров
Оформление под рубрику ДВИ
Частые ошибки
Что запомнить
Стратегия на ДВИ

О нестандартных задачах

На ДВИ по математике нестандартная алгебра чаще всего встречается в последних номерах (обычно это задача №6 или №7). Главная их особенность — они не решаются шаблонными школьными алгоритмами (как, например, обычные логарифмические неравенства или тригонометрические уравнения). Любая попытка решить такую задачу «в лоб» через возведение в квадрат, раскрытие всех скобок или приведение к общему знаменателю приводит к чудовищным вычислениям и уравнениям высоких степеней.

Здесь требуется алгебраическая проницательность: заметить ограниченность функций, симметрию, монотонность, удачную замену переменной или перевести задачу на язык геометрии. Слово «алгебра» в названии темы понимать широко: сюда же попадают нестандартные неравенства, задачи с параметром, а также уравнения, в которых одновременно сидят логарифмы, корни, степени и тригонометрия.

Метод мажорант (оценок)

Основная идея метода мажорант состоит в следующем: если у нас есть уравнение $f(x) = g(x)$ , и мы можем доказать, что для всех допустимых $x$ левая часть не превосходит какого-то числа $M$ ( $f(x) \leqslant M$ ), а правая часть не меньше этого же числа $M$ ( $g(x) \geqslant M$ ), то уравнение может выполняться только в том случае, если обе части одновременно равны $M$ .

Уравнение равносильно системе:

\begin{cases} f(x) = M, \\ g(x) = M. \end{cases}

Чтобы метод работал, нужно знать наизусть границы значений стандартных функций.

ВАЖНОЕ

Базовые оценки

Квадратичные и модульные:

a^2 \geqslant 0, \quad |a| \geqslant 0, \quad \sqrt{a} \geqslant 0

Взаимно обратные числа (следствие неравенства о среднем, AM–GM):

a + \frac{1}{a} \geqslant 2 \quad (\text{при } a > 0)

a + \frac{1}{a} \leqslant -2 \quad (\text{при } a < 0)

Равенство достигается только при $a = 1$ (или $a = -1$ ). Это не «неравенство Коши» (так в школьно-олимпиадной традиции чаще зовут Коши–Буняковского), а частный случай неравенства о среднем арифметическом и геометрическом.

СОВЕТ

Лист формул не выдают — умей выводить на месте

На ДВИ нет справочного листа, поэтому ключевые оценки нужно уметь восстановить за одну строку, а не «помнить как факт».

AM–GM для $a+\dfrac1a$ ( $a>0$ ): вынеси полный квадрат

a + \frac{1}{a} - 2 = \frac{a - 2\sqrt a\cdot\frac1{\sqrt a} + \frac1a}{1} = \left(\sqrt a - \frac{1}{\sqrt a}\right)^2 \geqslant 0.

Отсюда $a+\dfrac1a\geqslant 2$ , и равенство $\iff \sqrt a = \dfrac1{\sqrt a}\iff a=1$ .

AM–GM для двух чисел ( $a,b\geqslant 0$ ): $\dfrac{a+b}{2}\geqslant\sqrt{ab}$ , равенство $\iff a=b$ . Вывод тот же — из $(\sqrt a-\sqrt b)^2\geqslant 0$ .
Вспомогательный угол (см. справочник, §3): $a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2+b^2}\,\sin(x+\varphi)$ , где $\cos\varphi=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ , $\sin\varphi=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ . Восстанавливается из формулы синуса суммы. Отсюда сразу оценка ниже.

Мажоранты для неравенств

Тот же приём оценки работает и в неравенствах — но логика другая: здесь нет равносильной системы, а есть анализ того, при каких $x$ оценка обращается в равенство.

ВАЖНОЕ

Мажоранты в неравенствах

Пусть для всех допустимых $x$ верно $f(x)\leqslant M$ и $g(x)\geqslant M$ . Тогда:

Неравенство $f(x)\geqslant g(x)$ возможно только при одновременном равенстве $f(x)=g(x)=M$ . Его решения — это в точности те $x$ , где обе оценки одновременно достигают границы $M$ (то есть множество может быть пустым, конечным или совпасть с точками экстремума).
Неравенство $f(x)>g(x)$ (строгое) при тех же условиях решений не имеет: $f\leqslant M\leqslant g$ не оставляет места для строгого превосходства.
Неравенство $f(x)\leqslant g(x)$ выполнено для всех допустимых $x$ автоматически (это сама оценка $M$ , «зажатая» с двух сторон).

Иными словами, для неравенств мажоранты дают не «корень», а знак: либо «решений нет», либо «множество решений = точки равенства», либо «верно тождественно на ОДЗ».

Замена переменной: понижаем степень и убиваем симметрию

Очень частый «ключ» к нестандартному уравнению ДВИ — удачная замена, которая превращает страшное выражение в квадратное (или просто более простое). Такой шаг стоит держать в голове наравне с оценками.

ВАЖНОЕ

Рабочие замены

Симметрия «прямое + обратное» (возвратные уравнения):

u = x + \frac{1}{x} \;\Rightarrow\; x^2 + \frac{1}{x^2} = u^2 - 2,\qquad |u|\geqslant 2\ (\text{при } x\in\mathbb{R},\ x\neq 0).

Понижение чётной степени:

t = x^2 \geqslant 0 \quad(\text{биквадратные}),\qquad t = a^x > 0,\qquad t = \log_a x.

«Синус плюс косинус» (для уравнений, где есть и $\sin x\cos x$ , и $\sin x\pm\cos x$ ):

t = \sin x + \cos x \;\Rightarrow\; \sin x\cos x = \frac{t^2 - 1}{2},\qquad |t|\leqslant\sqrt2.

Ограничение $|t|\leqslant\sqrt2$ берётся из вспомогательного угла: $\sin x+\cos x=\sqrt2\,\sin\!\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$ , а синус по модулю не больше $1$ . Это ограничение обязательно использовать — оно отсекает посторонние корни нового уравнения.

Использование свойств функций

Если оценки «в лоб» не работают, на помощь приходят глобальные свойства функций.

1. Монотонность. Если функция $f(x)$ строго возрастает (или убывает) на всей области определения, то она принимает каждое своё значение не более одного раза. Если мы угадали корень уравнения $f(x) = c$ , то благодаря строгой монотонности можно с уверенностью утверждать, что других корней нет. Если $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, то уравнение $f(x) = g(x)$ также имеет не более одного корня.

2. Симметрия (Чётность). Этот приём часто используется в задачах с параметром, где требуется найти значения параметра, при которых уравнение имеет единственное решение или нечётное число решений. Если функция в уравнении чётная (то есть при замене $x$ на $-x$ уравнение не меняется), то каждый корень $x_0 \neq 0$ идёт в паре со своим симметричным собратом $-x_0$ . Чтобы число решений было нечётным (в частности, равным 1), корень $x = 0$ обязан быть решением.

СОВЕТ

Симметрия относительно произвольной оси

x=b

Чётность — это симметрия относительно оси $x=0$ . Но уравнение может быть симметрично относительно любой прямой $x=b$ : это значит, что замена $x\to 2b-x$ оставляет уравнение неизменным (часто видно, когда переменная входит только через $(x-b)^2$ , $|x-b|$ , $\cos\big(\pi(x-b)\big)$ и т.п.).

Тогда корни идут парами $x_0$ и $2b-x_0$ , симметричными относительно $x=b$ . Единственно возможный непарный корень — центр симметрии $x_0=2b-x_0$ , то есть $x=b$ . Поэтому условие единственности: подставь $x=b$ (а не только $x=0$ ) и затем докажи достаточность.

Векторный (скалярный) метод оценки и Коши–Буняковский

В сильных вариантах (мехмат, ВМК) оценку часто проводят через неравенство Коши–Буняковского — особенно когда под корнями стоят суммы.

ВАЖНОЕ

Коши–Буняковский (КБШ)

\big(a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n\big)^2 \leqslant \big(a_1^2+\dots+a_n^2\big)\big(b_1^2+\dots+b_n^2\big).

Равенство $\iff$ наборы пропорциональны: $\dfrac{a_1}{b_1}=\dots=\dfrac{a_n}{b_n}$ .

Геометрически это $(\vec a,\vec b)\leqslant|\vec a|\,|\vec b|$ (скалярное произведение не больше произведения длин), равенство — при сонаправленности векторов. Удобный частный случай для двух слагаемых:

1\cdot\sqrt{p} + 1\cdot\sqrt{q} \leqslant \sqrt{2}\cdot\sqrt{p+q}\qquad (p,q\geqslant 0),

равенство $\iff p=q$ . Это даёт мгновенную оценку сверху для суммы двух корней.

Геометрический подход

Некоторые алгебраические системы или неравенства скрывают в себе простые геометрические фигуры на координатной плоскости.

ВАЖНОЕ

Уравнения фигур и расстояния

Окружность радиуса $R$ с центром в $(a;\, b)$ :

(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2

Квадрат (ромб) с диагоналями на осях:

|x| + |y| = a \quad (a > 0)

Расстояние между точками $A(x_1;\, y_1)$ и $B(x_2;\, y_2)$ :

|AB| = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}

Расстояние от точки $M(x_0;\, y_0)$ до прямой $\ell:\ Ax+By+C=0$ :

d(M,\ell) = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2+B^2}}

Эту формулу тоже надо знать наизусть (листа формул нет): именно через неё считается радиус вписанной окружности в Примере 3.

Мини-классификация: окружность и ромб $|x|+|y|=a$

Полезно один раз увидеть, как меняется число общих точек окружности $x^2+y^2=R^2$ и ромба $|x|+|y|=a$ при росте радиуса $R$ (вершины ромба на расстоянии $a$ от центра, стороны — на расстоянии $\dfrac{a}{\sqrt2}$ ):

ВАЖНОЕ

Число общих точек окружности и ромба

\begin{array}{l} R < \tfrac{a}{\sqrt2}: \ 0 \text{ точек (окружность внутри ромба)};\\[2pt] R = \tfrac{a}{\sqrt2}: \ 4 \text{ точки касания (вписанная окружность)};\\[2pt] \tfrac{a}{\sqrt2} < R < a: \ 8 \text{ точек (сечёт каждую сторону дважды)};\\[2pt] R = a: \ 4 \text{ точки (через вершины, описанная окружность)};\\[2pt] R > a: \ 0 \text{ точек (ромб внутри окружности)}. \end{array}

Переход «4 $\to$ 8 $\to$ 4» — ключ к задачам «ровно 4 решения» и «ровно 8 решений».

Алгоритм подхода к нестандартной задаче

АЛГОРИТМ

Как искать ключ к решению

Проверь ОДЗ. Иногда область допустимых значений состоит из одной точки или пустого множества. Тогда и решать ничего не нужно.
Оцени части уравнения (мажоранты). Есть ли квадраты, модули, синусы, корни? Попробуй найти минимум одной части и максимум другой. Для неравенства оценка сразу даёт знак (см. раздел про неравенства).
Попробуй замену. Видишь $x+\dfrac1x$ , $x^2$ , $a^x$ , или одновременно $\sin x\cos x$ и $\sin x\pm\cos x$ ? Сделай замену — часто получится квадратное уравнение (не забудь область значений новой переменной, например $|t|\leqslant\sqrt2$ ).
Проверь монотонность. Если одна часть растёт, а другая убывает (или постоянна), корень не больше одного — угадай и докажи единственность.
Проверь на симметрию. Если в задаче есть модули вида $|x|$ , чётные степени $x^2$ , $x^4$ , или сдвинутая симметрия $(x-b)^2$ , и просят одно решение — подставляй $x=0$ (или $x=b$ ).
Поищи геометрический смысл. Если видишь сумму корней из суммы квадратов — это формула расстояния. Строй графики.
Сгруппируй и выдели полные квадраты. Часто скрытая оценка — это неявный полный квадрат $(ax-b)^2 \geqslant 0$ .

Разбор примеров

Пример 1. Метод мажорант

Условие. Реши уравнение $\log_2(3 - 2x - x^2) = x^2 + 2x + 3$ .

Выделяем полные квадраты и находим ОДЗ

Попытка возвести $2$ в степень правой части приведёт к безнадёжному уравнению. Выделим полные квадраты в обеих частях.

ОДЗ. Логарифм определён при $3 - 2x - x^2 > 0$ , то есть $4-(x+1)^2>0$ , $|x+1|<2$ , $x\in(-3;\,1)$ . Это держим в уме до конца.

Оцениваем левую часть

Выражение под логарифмом: $3 - 2x - x^2 = 4 - (x^2 + 2x + 1) = 4 - (x+1)^2$ . Поскольку $(x+1)^2 \geqslant 0$ , то $4 - (x+1)^2 \leqslant 4$ . В силу возрастания функции $y = \log_2 t$ , имеем:

\log_2(4 - (x+1)^2) \leqslant \log_2 4 = 2.

Левая часть не превосходит $2$ . Равенство достигается только при $x = -1$ .

Оцениваем правую часть

$x^2 + 2x + 3 = (x^2 + 2x + 1) + 2 = (x+1)^2 + 2$ . Поскольку $(x+1)^2 \geqslant 0$ , то $(x+1)^2 + 2 \geqslant 2$ . Правая часть не меньше $2$ . Равенство достигается только при $x = -1$ .

Сводим к системе и проверяем точки равенства

Уравнение вида $f(x) = g(x)$ , где $f(x) \leqslant 2$ и $g(x) \geqslant 2$ , равносильно системе:

\begin{cases} \log_2(3 - 2x - x^2) = 2, \\ x^2 + 2x + 3 = 2. \end{cases}

Точки равенства совпали: обе части достигают границы $2$ в одной и той же точке $x=-1$ . Это и есть условие применимости метода (см. «Частые ошибки»). Точка $x=-1\in(-3;1)$ — ОДЗ выполнена.

Пример 2. Симметрия (Необходимое и достаточное условие)

Условие. Найди все значения параметра $a$ , при которых уравнение $2^{x^2} + \cos x = a^2 - 3a + 3$ имеет единственное решение.

Используем чётность (необходимое условие)

Заметим, что функции $2^{x^2}$ и $\cos x$ являются чётными. Пусть $x_0$ — решение уравнения. Тогда:

2^{(-x_0)^2} + \cos(-x_0) = 2^{x_0^2} + \cos x_0 = a^2 - 3a + 3.

Значит, $-x_0$ также является решением. Чтобы решение было единственным, необходимо, чтобы пара корней совпадала, то есть $x_0 = -x_0$ , откуда $x_0 = 0$ .

Находим кандидатов на значение параметра

Подставим $x = 0$ в исходное уравнение:

2^0 + \cos 0 = a^2 - 3a + 3 \iff 1 + 1 = a^2 - 3a + 3 \iff a^2 - 3a + 1 = 0.

Решая квадратное уравнение, получаем $a_1 = \dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$ и $a_2 = \dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$ .

Проверяем достаточность

Внимание! Мы нашли лишь необходимое условие. Мы знаем, что при этих $a$ есть корень $x=0$ . Но вдруг при этих же $a$ есть и другие корни? Обязательно нужно проверить достаточность.

При найденных значениях $a$ правая часть равна $2$ . Уравнение принимает вид:

2^{x^2} + \cos x = 2.

Перепишем уравнение как

2^{x^2} - 1 = 1 - \cos x.

Оценим обе части:

Левая часть: $x^2\geqslant 0\implies 2^{x^2}\geqslant 2^0=1$ , поэтому $2^{x^2}-1\geqslant 0$ ; равенство только при $x=0$ .
Правая часть: $\cos x\leqslant 1\implies 1-\cos x\geqslant 0$ ; равенство при $x=2\pi k$ .

Слева неотрицательное число равно справа неотрицательному, значит обе части обязаны равняться нулю одновременно. Левая часть равна $0$ только при $x=0$ ; подставляя в правую, получаем $1-\cos 0=0$ — выполняется. Следовательно, $x=0$ — действительно единственное решение, и оба найденных $a$ подходят.

Пример 3. Геометрический подход

Условие. Найди все значения параметра $a$ , при которых система

\begin{cases} x^2 + y^2 = 2a, \\ |x| + |y| = 2 \end{cases}

имеет ровно четыре различных решения.

Переводим систему на геометрический язык

Перейдём к геометрической интерпретации на координатной плоскости $xy$ .

Уравнение $|x| + |y| = 2$ задаёт квадрат (ромб) с вершинами на осях координат: $(2;\, 0)$ , $(0;\, 2)$ , $(-2;\, 0)$ , $(0;\, -2)$ .
Уравнение $x^2 + y^2 = 2a$ . Если $a < 0$ , решений нет. Если $a = 0$ , то решение одно: точка $(0;\, 0)$ , но она не лежит на ромбе — значит, для системы $a=0$ не даёт решений. Нас интересует случай $a > 0$ . Тогда это уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом $R = \sqrt{2a}$ .

Определяем подходящие случаи по классификации

Нам нужно найти такие значения $R$ , при которых окружность пересекает ромб ровно в четырёх точках. Из мини-классификации (см. теорию) это два случая: вписанная окружность ( $R=\dfrac{a_{\text{ромба}}}{\sqrt2}$ , 4 касания) и описанная ( $R=a_{\text{ромба}}$ , 4 вершины); здесь «полуразмер» ромба равен $2$ .

Считаем радиусы и находим $a$

Случай 1 (вписанная): окружность касается всех четырёх сторон ромба. Радиус равен расстоянию от центра $O(0;0)$ до прямой стороны $x+y=2$ (в первой четверти). По формуле расстояния от точки до прямой $\ell:\ x+y-2=0$ :

R = d(O,\ell) = \dfrac{|0+0-2|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \dfrac{2}{\sqrt2} = \sqrt2.

Тогда $2a = R^2 = 2 \implies a = 1$ .

Случай 2 (описанная): окружность проходит через четыре вершины ромба. Радиус равен расстоянию от центра до вершины, то есть $R = 2$ . Тогда $2a = R^2 = 4 \implies a = 2$ .

При $\sqrt{2} < R < 2$ окружность пересекает каждую из четырёх сторон ромба дважды — получается $8$ решений. При $R < \sqrt{2}$ и $R > 2$ точек пересечения нет.

Пример 4. Монотонность

Условие. Реши уравнение $2^{\,x} + x = 3$ .

Пример 5. Замена

t=\sin x+\cos x

Условие. Реши уравнение $\sin x + \cos x + \sin x\cos x = 1$ .

Делаем замену и выписываем её область значений

Здесь одновременно присутствуют $\sin x+\cos x$ и произведение $\sin x\cos x$ — прямое приглашение к замене

t = \sin x + \cos x, \qquad \sin x\cos x = \dfrac{t^2 - 1}{2}, \qquad |t|\leqslant\sqrt2.

Ограничение $|t|\leqslant\sqrt2$ берётся из $t=\sqrt2\,\sin\!\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$ .

Решаем квадратное уравнение и отбираем корни

Подставляем:

t + \dfrac{t^2 - 1}{2} = 1 \iff 2t + t^2 - 1 = 2 \iff t^2 + 2t - 3 = 0.

Корни: $t = 1$ и $t = -3$ .

Корень $t=-3$ отбрасываем, так как $|-3|>\sqrt2$ — такое значение $\sin x+\cos x$ невозможно. (Именно поэтому ограничение на $t$ обязательно выписывать.)

Возвращаемся к переменной $x$

Остаётся $t=1$ :

\sin x + \cos x = 1 \iff \sqrt2\,\sin\!\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right) = 1 \iff \sin\!\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{1}{\sqrt2}.

Отсюда $x+\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n$ или $x+\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi n$ , $n\in\ZZ$ . Получаем две серии:

x = 2\pi n \qquad \text{или} \qquad x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n,\quad n\in\ZZ.

Проверка: $x=0$ даёт $0+1+0=1$ , $x=\dfrac{\pi}{2}$ даёт $1+0+0=1$ — оба верны.

Пример 6. Мажоранты в неравенстве + Коши–Буняковский

Условие. Реши неравенство $\sqrt{x-1} + \sqrt{7-x} \geqslant 2\sqrt{3}$ .

Пример 7. Оценка линейной комбинации

a\sin x + b\cos x

Условие. Реши уравнение $\sin x + \sqrt{3}\,\cos x = 2$ .

Оформление под рубрику ДВИ

ДВИ оценивают по outcomes-рубрике «±»: важно не только получить правильный ответ, но и письменно обосновать каждый логический переход. Ниже — эталон того, как должно выглядеть полное решение нестандартной задачи, и за что снимают баллы.

АЛГОРИТМ

Эталон полного решения (на примере метода мажорант)

ОДЗ выписана отдельной строкой (для логарифмов, корней, дробей). Без неё оценки «повисают».
Оценка левой части с явным указанием границы и где она достигается: « $f(x)\leqslant M$ , равенство $\iff x=x_0$ ».
Оценка правой части аналогично: « $g(x)\geqslant M$ , равенство $\iff x=x_1$ ».
Проверка совпадения точек равенства: $x_0=x_1$ . Только после этого выписывается равносильная система $\{f=M,\ g=M\}$ .
Решение системы и проверка корня по ОДЗ.
Явный ответ, выделенный в конце.

СОВЕТ

За что снимают «±» (теряют баллы)

«Из графика видно, что корень один» — рисунок даёт идею, но не доказательство. Единственность доказывают алгебраически: строгой монотонностью, точной оценкой или производной. Картинка без обоснования = не более «±».
Не доказана достаточность в задачах на единственность (нашли $a$ из $x=0$ , но не проверили, что других корней нет). Цена: обычно не более $20{-}30\%$ от баллов за задачу.
Точки равенства не совпали, а систему всё равно выписали — грубая логическая ошибка (см. «Частые ошибки»).
Потеряна область значений замены ( $|t|\leqslant\sqrt2$ , $t=x^2\geqslant 0$ , $t=a^x>0$ ) — посторонние корни в ответе.
Формула применена «как с листа» без вывода там, где требуется (расстояние до прямой, вспомогательный угол): на ДВИ листа формул нет, но за корректное применение известной формулы балл не снимают — снимают за ошибку в ней.
ОДЗ не сверена в конце — корень, не лежащий в ОДЗ, обязан быть отброшен явно.

Частые ошибки

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Точки равенства мажорант ДОЛЖНЫ совпадать

Ошибка: Увидев $f(x)\leqslant M$ и $g(x)\geqslant M$ , механически выписать систему $\{f(x)=M,\ g(x)=M\}$ — и не проверить, достигаются ли границы в одной и той же точке. Почему это опасно: если $f(x)=M$ при $x=a$ , а $g(x)=M$ при $x=b\neq a$ , то равенство $f(x)=g(x)=M$ невозможно ни в какой точке — у уравнения нет решений, хотя «система» формально что-то даёт. Мини-контрпример: уравнение $\sin x = (x-10)^2 + 1$ . Слева $\sin x\leqslant 1$ (равенство при $x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k$ ), справа $(x-10)^2+1\geqslant 1$ (равенство при $x=10$ ). Граница $M=1$ достигается в разных точках ( $x=10$ не вида $\dfrac{\pi}{2}+2\pi k$ ), поэтому решений нет. Кто выпишет систему не глядя — ошибётся.

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Недостаточность проверки при чётности

Ошибка: В задачах на единственность решения подставить $x=0$ , получить значения параметра $a$ и сразу записать их в ответ. Правильно: Подстановка $x=0$ — это только половина дела (необходимое условие). Обязательно подставь найденные $a$ обратно в исходное уравнение и докажи, что других корней (например, $\pm 2$ ) при этом параметре не возникает. На ДВИ за отсутствие этой проверки ставят не более 20-30% от баллов за задачу.

ЧАСТАЯ ОШИБКА

«Растягивание» ОДЗ при группировке

Ошибка: При сокращении дробей или делении обеих частей уравнения на множитель (даже в ходе оценки) забыть, что этот множитель мог быть равен нулю или отрицателен — при этом теряются или приобретаются корни. Пример потери корня: в уравнении $x\cdot\varphi(x)=x\cdot\psi(x)$ сократить на $x$ — и потерять корень $x=0$ . Делить можно только на заведомо ненулевой множитель; иначе случай «множитель $=0$ » разбирают отдельно. Правильно: Прежде чем делать любые преобразования в нестандартных задачах, выпиши ОДЗ отдельной строкой. В конце всегда сверяй корни с ней.

Что запомнить

Если уравнение выглядит переусложнённым (сочетает тригонометрию, логарифмы, корни и степени), оно решается через свойства функций. Считать дискриминанты там бесполезно.
Базовые инструменты-оценки: выделение полного квадрата, AM–GM ( $a+\tfrac1a \geqslant 2$ при $a>0$ ), Коши–Буняковский, ограниченность синуса/косинуса, вспомогательный угол ( $|a\sin x+b\cos x|\leqslant\sqrt{a^2+b^2}$ ).
Замены-«ключи»: $u=x+\tfrac1x$ ( $|u|\geqslant 2$ ), $t=x^2\geqslant 0$ , $t=a^x>0$ , $t=\sin x+\cos x$ ( $|t|\leqslant\sqrt2$ , $\sin x\cos x=\tfrac{t^2-1}{2}$ ). Всегда выписывай область значений новой переменной.
Монотонность: если $f\nearrow$ , а $g\searrow$ (или $g=\text{const}$ ) — корень не больше одного; угадай и сошлись на строгую монотонность.
Метод мажорант: точки достижения границы $M$ у обеих частей обязаны совпадать, иначе решений нет. В неравенствах оценка даёт знак, а не корень.
Если нужно найти параметр для нечётного числа решений — проверяй симметрию ( $f(x)=f(-x)$ или $f(x)=f(2b-x)$ ) и подставляй центр симметрии ( $x=0$ или $x=b$ ), затем доказывай достаточность.
Геометрические формы: $|x| + |y| = a$ — это ромб, $\sqrt{x^2+y^2}$ — расстояние до начала координат, $\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ — расстояние от точки до прямой.

Стратегия на ДВИ

СОВЕТ

Экзаменационная тактика

За нестандартные задачи берись только тогда, когда уверенно решены (и перепроверены!) базовые номера 1-4.
Если не видишь решения, пройди чеклист по порядку: ОДЗ $\to$ оценка $\to$ замена $\to$ монотонность $\to$ симметрия $\to$ геометрия $\to$ полный квадрат.
Попробуй нарисовать графики левой и правой частей (хотя бы эскизно). Рисунок часто подсказывает, где находится корень или в каких границах лежат функции.
На мехмате и ВМК очень ценят полноту обоснований. Фраза «из графика видно, что корень один» не принесёт полного балла. График лишь даёт идею, а доказать единственность нужно алгебраически: через производную, строгую монотонность или точные оценки.
Помни: листа формул нет. Вспомогательный угол, расстояние до прямой, AM–GM, радиусы вписанной/описанной окружностей — умей восстановить за одну-две строки прямо в чистовике.

Проверь себя

Уравнение $f(x)=g(x)$ , где $f(x)\leqslant M$ и $g(x)\geqslant M$ для всех допустимых $x$ . Когда оно имеет решение?
Какова область значений выражения $t=\sin x+\cos x$ ?
Функция $f$ строго возрастает на $\RR$ , и найден корень уравнения $f(x)=c$ . Что можно утверждать?
Окружность $x^2+y^2=R^2$ и ромб $|x|+|y|=a$ ( $a>0$ ) имеют ровно 8 общих точек. При каких $R$ ?

Нестандартная алгебра

О нестандартных задачах