Часть 2, задание 6: Сложная задача

Содержание

О задании 6 (Сложная задача)
Какие темы встречаются
Общий алгоритм подхода
Ключевые методы и формулы
Примеры решений
ОДЗ и контроль корней при возведении в степень
Оформление под рубрику ДВИ
Стратегия на ДВИ

О задании 6 (Сложная задача)

Шестая задача письменного ДВИ по математике — это своеобразный водораздел. Она отделяет тех, кто просто хорошо усвоил школьную программу, от тех, кто готов к серьезной университетской математике. Здесь редко встречаются шаблонные алгоритмы.

В этом задании проверяется умение мыслить нестандартно, комбинировать алгебру с геометрией или логикой, аккуратно перебирать случаи и доказывать каждый свой шаг. Зачастую задача выглядит пугающе, но после правильной группировки, удачной подстановки или геометрической интерпретации сводится к нескольким простым строкам.

Какие темы встречаются

В банке шестого задания чаще всего попадаются следующие сюжеты:

Задачи с параметрами: квадратные уравнения и неравенства, исследование расположения корней (относительно числа и относительно отрезка), системы уравнений (графический метод).
Метод мажорант (оценки и экстремумы): уравнения, которые не решаются алгебраически, но решаются через поиск минимумов и максимумов левой и правой частей.
Текстовые и числовые задачи на оптимальный выбор: сюжеты с целочисленными ограничениями (диофантовы уравнения, разложение на множители), где нужно найти максимум, минимум или перечислить все решения.
Логические задачи: использование свойств функций (монотонность, чётность, периодичность) для доказательства единственности решения.

Общий алгоритм подхода

Эти пункты — не самостоятельные методы, а навигатор: они подсказывают, к какому из разобранных ниже методов идти. Сами методы (расположение корней, мажоранты, целочисленные приёмы, монотонность) изложены в разделе «Ключевые методы».

Поиск «подвоха». Если уравнение выглядит как «монстр» (содержит радикалы, тригонометрию и многочлены одновременно) — не пытайся сразу возводить в квадрат. Сначала проверь, не ограничены ли части сверху/снизу — это сигнал к методу мажорант.
Выделение полных квадратов. В любой непонятной алгебраической ситуации выделяй полные квадраты — это ключ к методу оценок (получаешь $(x-x_0)^2 + y_0 \geqslant y_0$ ).
Графический перевод. Если в задаче с параметром есть модули, корни или уравнения окружностей — нарисуй эскиз на координатной плоскости. Половина задач решается через касание графиков.
Сведение к квадратному трёхчлену. Многие сложные системы уравнений с параметром становятся простыми, если рассмотреть их как квадратное уравнение относительно одной из переменных или самого параметра — дальше работает теория расположения корней.
Свойства функции для единственности. Если уравнение вида $f(x) = g(x)$ , где одна часть возрастает, а другая убывает, — корень один, его достаточно угадать и сослаться на монотонность.

Ключевые методы и формулы

Опорные формулы (лист на ДВИ не выдают)

На ДВИ нет листа формул, поэтому базовые опоры держим в голове и при необходимости выводим прямо на экзамене одной строкой. Подробности — см. справочник, разделы 1 и 4.

ВАЖНОЕ

Опоры для задания 6

Квадратный трёхчлен. $f(x) = ax^2 + bx + c$ , дискриминант $D = b^2 - 4ac$ . Вершина: $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ , ордината вершины $y_0 = c - \dfrac{b^2}{4a}$ . Каноническая форма: $ax^2 + bx + c = a\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 + y_0$ . При $a > 0$ величина $y_0$ — минимум трёхчлена.
Теорема Виета (при $a \neq 0,\ D \geqslant 0$ ): $\;x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}, \qquad x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}.$
Опорные оценки (мажоранты): $a + \dfrac{1}{a} \geqslant 2\ (a > 0), \qquad a + \dfrac{1}{a} \leqslant -2\ (a < 0).$ Вывод за одну строку (при $a > 0$ ): $\left(\sqrt{a} - \dfrac{1}{\sqrt{a}}\right)^2 \geqslant 0 \iff a - 2 + \dfrac{1}{a} \geqslant 0 \iff a + \dfrac{1}{a} \geqslant 2$ . $|\sin x| \leqslant 1, \quad |\cos x| \leqslant 1, \quad ax^2 + bx + c \geqslant y_0\ (a>0).$
AM–GM (среднее арифметическое $\geqslant$ среднее геометрическое) для неотрицательных $a_1, \dots, a_n$ : $\dfrac{a_1 + \dots + a_n}{n} \geqslant \sqrt[n]{a_1 \cdots a_n}, \quad \text{равенство} \iff a_1 = \dots = a_n.$

Расположение корней квадратного трёхчлена

Самый мощный аналитический инструмент для задач с параметрами. Позволяет не вычислять сами корни (которые могут содержать жуткие радикалы), а работать с дискриминантом, вершиной параболы и значениями функции на концах интервалов.

ВАЖНОЕ

Корни относительно заданного числа M

Пусть дан трёхчлен $f(x) = ax^2 + bx + c$ , где $a > 0$ . Пусть $x_1, x_2$ — его корни, а $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ — вершина параболы.

Оба корня больше $M$ : $\begin{cases} D \geqslant 0 \\ x_0 > M \\ f(M) > 0 \end{cases}$
Оба корня меньше $M$ : $\begin{cases} D \geqslant 0 \\ x_0 < M \\ f(M) > 0 \end{cases}$
Корни лежат по разные стороны от $M$ ( $x_1 < M < x_2$ ): $f(M) < 0$ (условия на $D$ и $x_0$ не нужны!)

Если старший коэффициент $a$ зависит от параметра и может быть отрицательным, условия видоизменяются: вместо $f(M) > 0$ используют $a \cdot f(M) > 0$ (универсальная запись, работающая при любом знаке $a$ ).

Метод мажорант (Оценки)

Метод применяется, когда уравнение имеет вид $f(x) = g(x)$ , при этом из свойств функций известно, что $f(x) \geqslant A$ , а $g(x) \leqslant A$ . Уравнение имеет решение только в том случае, если левая и правая части одновременно равны $A$ :

f(x) = g(x) \iff \begin{cases} f(x) = A \\ g(x) = A \end{cases}

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Главный капкан метода: экстремумы в РАЗНЫХ точках

Записать «обе части равны $A$ » мало. Нужно проверить, что точка, в которой левая часть достигает своего минимума $A$ , совпадает с точкой, где правая часть достигает максимума $A$ . Если минимум одной части и максимум другой берутся при разных значениях переменной — система равенств несовместна и уравнение не имеет решений, хотя формально «обе части могли бы равняться $A$ ». Это самая частая ошибка метода: см. Пример 3.

Целочисленные и диофантовы задачи

Когда в задаче №6 требуется найти все целые (натуральные) решения или максимум/минимум при целочисленных ограничениях, алгебраические методы не работают «в лоб» — нужны приёмы теории чисел. Подробные формулы — см. справочник, раздел 6.

ВАЖНОЕ

Рабочие приёмы для целых решений

Разложение на множители. Привести уравнение к виду $(\,\cdot\,)(\,\cdot\,) = N$ , где $N$ — фиксированное число, и перебрать пары делителей $N$ (включая отрицательные!). Помогает группировка $xy + ax + by = (x+b)(y+a) - ab$ .
Линейное диофантово $ax + by = c$ разрешимо в целых $\iff \text{НОД}(a,b) \mid c$ . Общее решение: $x = x_0 + \dfrac{b}{d}t,\ y = y_0 - \dfrac{a}{d}t$ , где $d = \text{НОД}(a,b),\ t \in \ZZ$ .
Оценка/перебор по неравенству. Если на переменную есть ограничение (например, $x, y > 0$ и связаны уравнением), выразить одну через другую и перебрать конечное число допустимых значений.
Остатки. Проверить уравнение по подходящему модулю ( $\bmod 3,\ \bmod 4,\ \bmod 8$ ): иногда решений нет вовсе. Напомним: $x^2 \bmod 4 \in \{0,1\}$ , $x^2 \bmod 3 \in \{0,1\}$ .

Монотонность и единственность решения

Логические задачи №6 часто просят доказать, что корень один (или найти все, доказав, что других нет). Чисто алгебраически такое уравнение может не решаться — спасают свойства функций.

ВАЖНОЕ

Признак единственности корня

Если уравнение приведено к виду $\varphi(x) = C$ (или $f(x) = g(x)$ ), и при этом:

функция $\varphi$ строго монотонна (всюду возрастает или всюду убывает) на области определения,

то уравнение имеет не более одного корня. Достаточно угадать один корень и сослаться на монотонность.

Частный вид: если $f$ строго возрастает, а $g$ строго убывает, то $f(x) = g(x)$ имеет не более одного решения. Чётность/периодичность используют, чтобы свести задачу к одному периоду или к $x \geqslant 0$ .

Примеры решений

Пример 1: Метод оценок (Мажоранты)

Условие. Реши уравнение $\sqrt{x^2 - 4x + 5} + \sqrt{y^2 + 6y + 10} = 2\cos(2\pi(x+y))$ .

Оцениваем левую часть: выделяем полные квадраты

Выделим полные квадраты под корнями в левой части уравнения:

x^2 - 4x + 5 = (x^2 - 4x + 4) + 1 = (x - 2)^2 + 1

y^2 + 6y + 10 = (y^2 + 6y + 9) + 1 = (y + 3)^2 + 1

Левая часть принимает вид: $f(x,y) = \sqrt{(x - 2)^2 + 1} + \sqrt{(y + 3)^2 + 1}$ . Так как квадраты неотрицательны, $(x - 2)^2 \geqslant 0$ и $(y + 3)^2 \geqslant 0$ . Следовательно, минимальное значение левой части равно $\sqrt{1} + \sqrt{1} = 2$ , и оно достигается только при $x = 2$ и $y = -3$ . Таким образом, $f(x,y) \geqslant 2$ .

Оцениваем правую часть

Правая часть уравнения: $g(x,y) = 2\cos(2\pi(x+y))$ . Поскольку косинус ограничен, $\cos(\alpha) \leqslant 1$ , правая часть не превосходит двух: $g(x,y) \leqslant 2$ .

Проверяем совместность

Уравнение $f(x,y) = g(x,y)$ может выполняться только при условии, что обе части равны 2 одновременно. Из левой части мы однозначно получили $x = 2$ и $y = -3$ .

Проверяем совместность (тот самый контроль из предупреждения): подставим $x = 2,\ y = -3$ в правую часть и убедимся, что она действительно равна своему максимуму 2:

2\cos(2\pi(2 - 3)) = 2\cos(-2\pi) = 2 \cdot 1 = 2.

Равенство выполняется — точка минимума левой части оказалась и точкой максимума правой. Система совместна.

Ответ: $x = 2, \; y = -3$ .

Пример 2: Параметры и расположение корней относительно числа

Условие. Найди все значения параметра $a$ , при которых оба корня уравнения $x^2 - 2(a-1)x + a^2 - 5a + 6 = 0$ строго меньше $3$ .

Составляем систему условий

Пусть $f(x) = x^2 - 2(a-1)x + a^2 - 5a + 6$ . Старший коэффициент равен $1 > 0$ , значит, ветви параболы направлены вверх. Чтобы оба корня (если они существуют) были строго меньше $3$ , необходимо и достаточно выполнения системы условий:

\begin{cases} D \geqslant 0 \\ x_0 < 3 \\ f(3) > 0 \end{cases}

Проверяем каждое условие

Дискриминант: $\dfrac{D}{4} = (a-1)^2 - (a^2 - 5a + 6) = a^2 - 2a + 1 - a^2 + 5a - 6 = 3a - 5$ . Условие $D \geqslant 0 \implies 3a - 5 \geqslant 0 \implies a \geqslant \dfrac{5}{3}$ .
Вершина параболы: $x_0 = \dfrac{2(a-1)}{2} = a - 1$ . Условие $x_0 < 3 \implies a - 1 < 3 \implies a < 4$ .
Значение функции в точке $x = 3$ : $f(3) = 3^2 - 2(a-1)\cdot 3 + a^2 - 5a + 6 = 9 - 6a + 6 + a^2 - 5a + 6 = a^2 - 11a + 21$ . Условие $f(3) > 0 \implies a^2 - 11a + 21 > 0$ . Корни уравнения $a^2 - 11a + 21 = 0$ : $a = \dfrac{11 \pm \sqrt{121 - 84}}{2} = \dfrac{11 \pm \sqrt{37}}{2}$ . Следовательно, $a \in \left(-\infty;\, \dfrac{11 - \sqrt{37}}{2}\right) \cup \left(\dfrac{11 + \sqrt{37}}{2};\, +\infty\right)$ .

Пересекаем промежутки

Теперь необходимо пересечь все три полученных условия. Оценим значение корня: $\sqrt{36} < \sqrt{37} < \sqrt{49} \implies 6 < \sqrt{37} < 7$ . Значит, $\dfrac{11 - \sqrt{37}}{2} \approx \dfrac{11 - 6{,}08}{2} = 2{,}46$ . Заметим, что $\dfrac{5}{3} \approx 1{,}66$ . Следовательно, $\dfrac{5}{3} < \dfrac{11 - \sqrt{37}}{2}$ . Второе число $\dfrac{11 + \sqrt{37}}{2} \approx \dfrac{11 + 6{,}08}{2} = 8{,}54 > 4$ .

Пересекаем промежутки:

От дискриминанта: $a \geqslant \dfrac{5}{3}$
От вершины: $a < 4$
От $f(3)$ : интервалы левее $2{,}46$ и правее $8{,}54$ .

Итоговое пересечение даёт промежуток от $\dfrac{5}{3}$ до $\dfrac{11 - \sqrt{37}}{2}$ .

Контролируем границы

Контроль границ (та самая «проверка концов», за которую снимают баллы при небрежности):

Левый конец $a = \dfrac{5}{3}$ : здесь $D = 0$ , значит, двойной корень $x = x_0 = a - 1 = \dfrac{2}{3} < 3$ — условие «оба корня меньше 3» выполнено. Конец включаем.
Правый конец $a = \dfrac{11 - \sqrt{37}}{2}$ : здесь $f(3) = 0$ , то есть $x = 3$ является корнем. Условие «строго меньше 3» нарушено. Конец исключаем.

Ответ: $a \in \left[\dfrac{5}{3};\ \dfrac{11 - \sqrt{37}}{2}\right)$ .

Пример 3: Капкан мажорант — экстремумы в разных точках

Условие. Реши уравнение $\sin \pi x = x^2 - 2x + 2$ .

Оцениваем правую часть

Этот пример показывает, почему метод мажорант нельзя применять формально.

Оценим правую часть. Выделим полный квадрат:

x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 + 1 \geqslant 1.

Минимум правой части равен $1$ и достигается только при $x = 1$ .

Оцениваем левую часть

Оценим левую часть: $\sin \pi x \leqslant 1$ , максимум $1$ достигается, когда $\pi x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n$ , то есть при $x = \dfrac{1}{2} + 2n,\ n \in \ZZ$ .

Равенство $\sin \pi x = (x-1)^2 + 1$ возможно лишь тогда, когда обе части равны $1$ в одной и той же точке.

Проверяем совместность

Проверяем совместность:

Правая часть равна $1$ только при $x = 1$ .
Но $\sin(\pi \cdot 1) = \sin \pi = 0 \neq 1$ — в точке $x = 1$ левая часть не достигает своего максимума.
Левая часть равна $1$ при $x = \dfrac{1}{2} + 2n$ ; ближайшее значение $x = \dfrac{1}{2}$ даёт справа $\left(\dfrac12 - 1\right)^2 + 1 = 1{,}25 \neq 1$ .

Точка минимума правой части ( $x = 1$ ) и точки максимума левой ( $x = \frac12 + 2n$ ) не совпадают. Значит, одновременно обе части равняться $1$ не могут, и так как левая $\leqslant 1 \leqslant$ правая с равенством лишь на своих «своих» точках — общих решений нет.

График к примеру 3 на одной координатной плоскости

Ответ: решений нет.

Пример 4: Расположение корней относительно отрезка

Условие. При каких значениях параметра $a$ оба корня уравнения $x^2 - 2ax + a^2 - 1 = 0$ принадлежат интервалу $(0;\ 4)$ ?

Составляем систему условий

Пусть $f(x) = x^2 - 2ax + a^2 - 1$ , старший коэффициент $1 > 0$ . По теории расположения корней относительно интервала $(0;4)$ нужна система:

\begin{cases} D \geqslant 0 \\ 0 < x_0 < 4 \\ f(0) > 0 \\ f(4) > 0 \end{cases}

Проверяем каждое условие

Дискриминант: $\dfrac{D}{4} = a^2 - (a^2 - 1) = 1 > 0$ . Условие $D \geqslant 0$ выполнено при любом $a$ (корни всегда различны).
Вершина: $x_0 = a$ . Условие $0 < x_0 < 4 \implies 0 < a < 4$ .
$f(0) > 0$ : $f(0) = a^2 - 1 > 0 \implies a < -1$ или $a > 1$ .
$f(4) > 0$ : $f(4) = 16 - 8a + a^2 - 1 = a^2 - 8a + 15 = (a-3)(a-5) > 0 \implies a < 3$ или $a > 5$ .

Пересекаем и контролируем концы

Пересекаем:

$0 < a < 4$ (вершина),
$a < -1$ или $a > 1$ (от $f(0)$ ) — с учётом первого даёт $1 < a < 4$ ,
$a < 3$ или $a > 5$ (от $f(4)$ ) — с учётом предыдущего даёт $1 < a < 3$ .

Концы строгие (интервал $(0;4)$ открыт, неравенства $f(0)>0,\ f(4)>0$ строгие): при $a = 1$ получаем $f(0) = 0$ , то есть $x = 0$ — корень, но $0 \notin (0;4)$ ; при $a = 3$ получаем $f(4) = 0$ , то есть $x = 4$ — корень, $4 \notin (0;4)$ . Оба конца исключаем.

Проверяем явными корнями

Проверка для уверенности: корни уравнения легко находятся явно — $x_{1,2} = a \pm 1$ . Условие «оба в $(0;4)$ » прямо даёт $0 < a-1$ и $a + 1 < 4$ , то есть $1 < a < 3$ — совпало.

Ответ: $a \in (1;\ 3)$ .

Пример 5: Ровно один корень на интервале

Условие. При каких значениях параметра $a$ уравнение $x^2 - 2x + a = 0$ имеет ровно один корень на интервале $(0;\ 3)$ ?

Записываем условие разных знаков на концах

Пусть $g(x) = x^2 - 2x + a$ . «Ровно один корень внутри $(0;3)$ » в типичном случае означает, что значения функции на концах интервала имеют разные знаки (парабола пересекает ось ровно один раз между $0$ и $3$ ):

g(0) \cdot g(3) < 0.

Вычислим:

g(0) = a, \qquad g(3) = 9 - 6 + a = a + 3.

Тогда

a(a + 3) < 0 \iff -3 < a < 0.

Проверяем краевые случаи

Проверка краевых случаев (их условие $g(0)g(3)<0$ не покрывает, нужно смотреть руками):

$a = 0$ : $g(x) = x^2 - 2x = x(x-2)$ , корни $0$ и $2$ . Корень $0 \notin (0;3)$ , корень $2 \in (0;3)$ — формально один корень на интервале. Но условие строгого знака даёт $a < 0$ ; случай $a = 0$ добавляем отдельно, так как один корень в $(0;3)$ всё же есть. (На ДВИ такие краевые значения всегда оговаривают явно.)
$a = -3$ : $g(x) = x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1)$ , корни $3$ и $-1$ . Оба вне $(0;3)$ — на интервале корней нет, не подходит.

Исключаем случай двух корней внутри

Также проверим, не попадает ли в « $-3 < a < 0$ » случай, когда оба корня внутри $(0;3)$ (тогда было бы не «ровно один»). Вершина $x_0 = 1 \in (0;3)$ , но при $a < 0$ имеем $g(0) = a < 0$ — значение в левом конце отрицательно, парабола ниже оси в точке $0$ , поэтому второй корень лежит левее нуля. Значит, внутри $(0;3)$ ровно один корень — всё корректно.

Ответ: $a \in (-3;\ 0]$ (значение $a = 0$ включено по разбору краевого случая).

Пример 6: Целочисленная (диофантова) задача — разложение на множители

Условие. Найди все пары натуральных чисел $(x;\ y)$ , удовлетворяющие уравнению $xy - 2x - 3y = 7$ .

Сворачиваем левую часть в произведение

Алгебраически уравнение не решается (одно уравнение, две неизвестных) — но целочисленность спасает. Сгруппируем так, чтобы свернуть левую часть в произведение.

Прибавим к обеим частям $6$ :

xy - 2x - 3y + 6 = 7 + 6 = 13.

Левая часть раскладывается:

xy - 2x - 3y + 6 = x(y - 2) - 3(y - 2) = (x - 3)(y - 2).

Итак,

(x - 3)(y - 2) = 13.

Перебираем пары делителей

Число $13$ — простое. Поскольку $x, y$ натуральные, множитель $y - 2 \geqslant -1$ , а $x - 3 \geqslant -2$ . Перебираем разложения $13$ на два целых множителя $(d_1; d_2)$ с $d_1 d_2 = 13$ :

$x - 3$	$y - 2$	$x$	$y$	натуральные?
$1$	$13$	$4$	$15$	да
$13$	$1$	$16$	$3$	да
$-1$	$-13$	$2$	$-11$	нет ( $y<0$ )
$-13$	$-1$	$-10$	$1$	нет ( $x<0$ )

Отрицательные пары делителей дают нецелые/неположительные значения и отпадают.

Ответ: $(x;\ y) \in \{(4;\ 15),\ (16;\ 3)\}$ .

Пример 7: Логика — единственность корня через монотонность

Условие. Реши уравнение $3^x + 4^x = 5^x$ .

Пример 8: Вырожденный старший коэффициент и знак

a\cdot f(M)

Условие. При каких значениях параметра $a$ оба корня уравнения $(a-1)x^2 - 2ax + (a + 3) = 0$ положительны?

Разбираем вырожденный случай $a = 1$

Старший коэффициент $a - 1$ зависит от параметра, поэтому сначала разбираем вырожденный случай.

Случай 1: $a = 1$ (старший коэффициент равен нулю). Уравнение становится линейным:

-2x + 4 = 0 \implies x = 2 > 0.

Один положительный корень. Если условие задачи допускает «единственный корень» как «оба положительны» (формально корней не два), на ДВИ это оговаривают явно; чаще требование «оба корня» подразумевает квадратное уравнение, тогда $a = 1$ исключают. Будем считать, что нужны именно два положительных корня, поэтому $a = 1$ не подходит, но зафиксировать и прокомментировать этот случай в работе обязательно — иначе теряются баллы за полноту.

Составляем систему для $a \neq 1$

Случай 2: $a \neq 1$ (настоящее квадратное уравнение). Пусть $f(x) = (a-1)x^2 - 2ax + (a+3)$ , старший коэффициент может быть любого знака, поэтому пользуемся универсальной записью «оба корня $> 0$ » (то есть $> M$ при $M = 0$ ):

\begin{cases} D \geqslant 0 \\ x_0 > 0 \\ (a-1)\cdot f(0) > 0 \end{cases}

Решаем каждое условие

Дискриминант. $\dfrac{D}{4} = a^2 - (a-1)(a+3) = a^2 - (a^2 + 2a - 3) = -2a + 3$ . $D \geqslant 0 \implies -2a + 3 \geqslant 0 \implies a \leqslant \dfrac{3}{2}$ .
Вершина. $x_0 = \dfrac{2a}{2(a-1)} = \dfrac{a}{a-1}$ . Условие $\dfrac{a}{a-1} > 0$ выполнено при $a < 0$ или $a > 1$ .
Знак $(a-1)f(0)$ . Здесь $f(0) = a + 3$ , поэтому условие $(a-1)(a+3) > 0$ выполнено при $a < -3$ или $a > 1$ .

Пересекаем и контролируем границу

Пересекаем три условия:

$a \leqslant \dfrac{3}{2}$ ,
$a < 0$ или $a > 1$ ,
$a < -3$ или $a > 1$ .

Из второго и третьего вместе: либо $a < -3$ , либо $1 < a$ . С учётом $a \leqslant \dfrac32$ получаем: $a < -3$ или $1 < a \leqslant \dfrac{3}{2}$ .

Контроль границы $a = \dfrac32$ : тогда $D = 0$ , двойной корень $x_0 = \dfrac{a}{a-1} = \dfrac{3/2}{1/2} = 3 > 0$ — годится, конец включаем.

Ответ: $a \in (-\infty;\ -3) \cup \left(1;\ \dfrac{3}{2}\right]$ .

ОДЗ и контроль корней при возведении в степень

Если оценить части не удаётся и приходится возводить в квадрат иррациональное уравнение, помни про два источника ошибок (детали — справочник, раздел 4):

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Возведение в квадрат

ОДЗ. Подкоренные выражения должны быть неотрицательны: для $\sqrt{f}$ нужно $f \geqslant 0$ . Выпиши ОДЗ до преобразований.
Знак правой части. $\sqrt{f} = g \iff \begin{cases} f = g^2 \\ g \geqslant 0\end{cases}$ — условие $g \geqslant 0$ обязательно, иначе появятся посторонние корни.
Проверка. После возведения в квадрат всегда подставляй найденные корни в исходное уравнение: возведение — не равносильное преобразование, оно может добавить лишние решения.

Оформление под рубрику ДВИ

На ДВИ оценивают не только финальную цифру: за «существенное продвижение» (выписанную систему условий, верную идею метода) дают часть баллов даже при арифметической ошибке в конце. Поэтому решение пишут так, чтобы каждый шаг был виден и обоснован.

СОВЕТ

Эталон полного решения задачи №6 (на примере расположения корней)

Назвал функцию и метод. «Пусть $f(x) = \dots$ , $a > 0$ — ветви вверх. Условие "оба корня $< 3$ " равносильно системе…» — сразу выписана система условий.
Каждое условие — отдельной строкой с выводом. $D$ , $x_0$ , $f(M)$ посчитаны явно, без «устного» пропуска.
Пересечение промежутков показано. Сравнение границ ( $\sqrt{37}$ оценено, числа упорядочены) — не «очевидно», а с обоснованием.
Контроль концов. Для каждого граничного значения параметра проверено, включается оно или нет (подстановкой $D = 0$ / $f(M) = 0$ ).
Строка «Ответ:». Записан интервал с правильными скобками: квадратная — конец включён, круглая — исключён.

ЧАСТАЯ ОШИБКА

За что снимают «±» (частичный балл) или обнуляют

Нет проверки границ. Записан интервал без анализа концов — типичная потеря «±» (см. Пример 2: левый конец включается, правый нет).
Забыт вырожденный случай. В задаче с параметром при старшем коэффициенте вида $(a-1)$ не рассмотрено $a = 1$ — минус балл за полноту.
Мажоранты без проверки совместности. Приравняли части к $A$ , но не проверили, что экстремумы в одной точке (см. Пример 3) — решение неполное или неверное.
Потеряны посторонние/пропущены корни при возведении в квадрат — нет проверки подстановкой.
Нет строки «Ответ:» или нестрогая формулировка («промежуток от … до …» вместо интервала) — незавершённое решение, балл за оформление не ставится.

Стратегия на ДВИ

СОВЕТ

Экзаменационная тактика

Не застревай. Шестая задача требует свежей головы. Если ты смотришь на неё 10 минут и не видишь зацепки (нет идей для выделения полных квадратов, график не строится) — переходи к стереометрии (№7) и возвращайся позже.
Пиши частичное решение. Оценивается не только ответ! Если в задаче с параметром ты довёл дело до системы неравенств (выписал условия дискриминанта, вершины, значения в точке), но ошибся в арифметике при их решении — ты получишь баллы за «существенное продвижение» (обычно это половина стоимости задачи).
Проверяй границы. Самая частая причина потери баллов — неправильно поставленные скобки в ответе. При решении строгих неравенств ( $<, >$ ) концы интервалов не включаются, а при проверке касания графиков или $D=0$ могут появляться изолированные точки. Всегда подставляй граничные значения в исходное уравнение и проверяй руками.
Узнаёшь метод по форме. «Монстр» с радикалами и тригонометрией → мажоранты. Параметр при $x^2$ → расположение корней. «Найди все целые/натуральные» → разложение на множители или остатки. «Докажи, что корень один» → монотонность.

Проверь себя

Оба корня трёхчлена $f(x) = x^2 + bx + c$ строго больше числа $M$ . Какая система условий это гарантирует?
Корни трёхчлена ( $a > 0$ ) лежат по разные стороны от числа $M$ . Какое условие необходимо и достаточно?
В методе мажорант получили: левая часть $\geqslant A$ , правая $\leqslant A$ . Что обязательно проверить перед записью ответа?
Уравнение $(a-1)x^2 + 2x + a = 0$ решают через условия для параболы. Что нужно сделать в первую очередь?

Часть 2, задание 6: Сложная задача

О задании 6 (Сложная задача)

Какие темы встречаются

Общий алгоритм подхода