Тригонометрические неравенства

Относится к заданиям: 16, 93

Содержание

Суть темы
Базовые тригонометрические неравенства
Формулы без листа (минимум, который надо помнить)
Основные методы решения
Строгость неравенства: когда конец дуги включён, а когда выколот
Алгоритм решения сложного неравенства
Примеры разбора задач
Частые ошибки
Что запомнить
Стратегия на ДВИ
Оформление под рубрику ДВИ

Суть темы

На ДВИ по математике тригонометрические неравенства редко встречаются в чистом виде (как отдельный номер). Чаще всего они являются частью более сложной задачи: возникают при решении систем, при отборе корней, внутри логарифмов или под знаками корня.

Главная сложность тригонометрических неравенств на ДВИ — аккуратный учет ОДЗ, пересечение множеств решений и правильная запись ответа с периодами. В отличие от уравнений, где ответом является набор точек, решением неравенства всегда служит набор дуг на тригонометрической окружности.

Базовые тригонометрические неравенства

Любое сложное неравенство в итоге сводится к одному или нескольким простейшим вида $\sin x > a$ , $\cos x \leqslant a$ , $\tg x \geqslant a$ . На экзамене листа формул под рукой не будет, поэтому надёжнее всего решать их геометрически — с помощью тригонометрической окружности. (Для произвольного, нетабличного $a$ — например $a = \tfrac13$ — границы дуг всё равно записывают аналитически через $\arcsin a$ , $\arccos a$ , $\arctg a$ ; окружность при этом остаётся обоснованием.)

Формулы без листа (минимум, который надо помнить)

На ДВИ листа формул нет, а почти каждый разбор ниже опирается на эти тождества. Их нужно знать наизусть; ниже — самые рабочие, с короткими подсказками к выводу. Полный список — в справочнике (раздел «Тригонометрия»).

ВАЖНОЕ

Тождества, без которых не обойтись

Основное тождество и следствия:

\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \;\Rightarrow\; \cos^2 x = 1 - \sin^2 x, \quad \sin^2 x = 1 - \cos^2 x.

Двойной угол (три формы $\cos 2x$ выводятся из $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ заменой $\sin^2$ или $\cos^2$ через основное тождество):

\sin 2x = 2\sin x\cos x, \qquad \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 1 - 2\sin^2 x = 2\cos^2 x - 1.

Понижение степени (просто переставленные формы $\cos 2x$ — пригодятся, чтобы убрать квадрат):

\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}, \qquad \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}.

Вспомогательный угол (сворачивает $a\sin x + b\cos x$ в одну функцию):

a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2+b^2}\,\sin(x+\varphi), \quad \cos\varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \; \sin\varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}.

Формулы приведения (правило «чёт/нечёт + смена функции»): сдвиг на $\tfrac{\pi}{2}$ или $\tfrac{3\pi}{2}$ меняет $\sin\leftrightarrow\cos$ , сдвиг на $\pi$ или $2\pi$ — нет; знак ставим по той четверти, куда попадает угол. Например: $\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos x$ , $\cos(\pi - x) = -\cos x$ , $\tg(\pi + x) = \tg x$ .

Основные методы решения

Если неравенство не является простейшим, его нужно преобразовать. На ДВИ применяют четыре основных подхода:

Алгебраическая замена. Если в неравенстве присутствует только одна функция (или ее можно получить через основное тригонометрическое тождество), сделай замену $t = \sin x$ или $t = \cos x$ . Реши алгебраическое неравенство методом интервалов, а затем вернись к тригонометрии. Не забудь: новая переменная ограничена, $|t| \leqslant 1$ для синуса/косинуса, — часть алгебраических решений может оказаться пустой (см. Пример 1).
Разложение на множители + метод интервалов на окружности. Перенеси все слагаемые в одну часть и сгруппируй. Если удастся привести неравенство к виду $f(x) \cdot g(x) \gtrless 0$ (или к дроби $\tfrac{f}{g} \gtrless 0$ ), знак произведения/частного читается по окружности методом интервалов (см. ниже) — это короче и надёжнее ручного перебора систем.
Метод вспомогательного угла. Идеально работает для комбинаций вида $a\sin x + b\cos x$ (см. блок формул выше).
Универсальная подстановка $t = \tg\tfrac{x}{2}$ — запасной метод, когда в неравенстве смешаны $\sin x$ и $\cos x$ и ничто другое не помогает (см. ниже). Применяй осторожно: подстановка теряет серию $x = \pi + 2\pi k$ (там $\tg\tfrac{x}{2}$ не существует) — её надо проверить отдельной подстановкой в исходное неравенство.

ВАЖНОЕ

Обобщённый метод интервалов на тригонометрической окружности

Чтобы решить $f(x)\cdot g(x) \gtrless 0$ или $\dfrac{f(x)}{g(x)} \gtrless 0$ , где $f,g$ — простейшие тригонометрические выражения:

Найди на окружности все нули $f$ и нули $g$ за один период (для дроби нули знаменателя — выколотые).
Эти точки разбивают окружность на дуги. На любой одной дуге определи знаки $f$ и $g$ (подставь удобную точку), перемножь — получишь знак выражения на дуге.
При переходе через простой нуль (нечётной кратности) знак меняется, через нуль чётной кратности — нет.
Выбери дуги нужного знака; концы включай по правилу строгости (см. раздел ниже).

Это тот же метод интервалов, что на прямой, только «ось» свёрнута в окружность. Он заменяет громоздкий перебор «Случай 1 / Случай 2» и не даёт потерять случай.

Строгость неравенства: когда конец дуги включён, а когда выколот

Это самый частый источник потери частичного балла « $\pm$ » на ДВИ. Правило простое, но его надо проговорить в решении явно.

ВАЖНОЕ

Правило включения/выколотости концов

Граница дуги — это точка, где соответствующее выражение равно $a$ (или где множитель/числитель обращается в нуль). Тогда:

Нестрогое неравенство ( $\leqslant$ , $\geqslant$ ): точка, где выражение $= a$ (или произведение/числитель $=0$ ), удовлетворяет неравенству, значит конец дуги включён (закрашен, скобка квадратная $[\,]$ ). Исключение — только если эта точка запрещена ОДЗ: тогда её всё равно выкалывают.
Строгое неравенство ( $<$ , $>$ ): точка, где выражение $= a$ , не удовлетворяет, значит конец выколот (белая точка, скобка круглая $(\,)$ ).
Нули знаменателя и точки вне ОДЗ (например $\cos x = 0$ для $\tg x$ , $\sin x = 0$ под корнем) всегда выколоты, независимо от строгости — там выражение просто не существует.

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Один и тот же конец может быть закрыт «по числителю» и открыт «по ОДЗ»

В дробных неравенствах различай два источника границы. Если точка — нуль числителя и неравенство нестрогое, конец включается (там дробь $=0$ , что годится для $\geqslant 0$ ). Если точка — нуль знаменателя или граница ОДЗ, конец выколот всегда. На одной дуге один конец может быть закрытым (числитель), а другой открытым (ОДЗ) — это нормально и именно за это снимают « $\pm$ », если перепутать. Подробно показано в Примере 3.

Алгоритм решения сложного неравенства

АЛГОРИТМ

Как действовать на экзамене

Выпиши ОДЗ. Если есть знаменатели, корни четной степени или логарифмы — сразу запиши ограничения на тригонометрическую функцию.
Упрости аргументы. Избавься от двойных и половинных углов, используй формулы приведения (блок «Формулы без листа»), чтобы везде был один и тот же аргумент (например, только $x$ ).
Примени один из основных методов (замена, разложение на множители + интервалы, вспомогательный угол, при необходимости $t=\tg\tfrac{x}{2}$ ), чтобы свести неравенство к базовым.
Нарисуй окружность. Отметь на ней все полученные дуги и выколи точки, запрещенные ОДЗ.
Запиши ответ. Внимательно проследи за обходом дуг против часовой стрелки, проверь строгость каждого конца (включён/выколот) и не забудь прибавить период $2\pi n$ (или $\pi n$ ) к каждому концу интервала.

Примеры разбора задач

Пример 1. Сведение к квадратному неравенству

Реши неравенство $2\cos^2 x - \sin x < 1$ .

Сводим к одной функции

Выразим косинус через синус, используя тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ :

2(1 - \sin^2 x) - \sin x - 1 < 0

-2\sin^2 x - \sin x + 1 < 0

Домножим на $-1$ . Внимание: при умножении неравенства на отрицательное число знак обязательно меняется:

2\sin^2 x + \sin x - 1 > 0

Решаем квадратное неравенство

Сделаем замену $t = \sin x$ , причём сразу помним ограничение $-1 \leqslant t \leqslant 1$ . Получим квадратное неравенство $2t^2 + t - 1 > 0$ . Корни уравнения $2t^2 + t - 1 = 0$ : $t_1 = -1$ , $t_2 = \dfrac{1}{2}$ . Ветви параболы направлены вверх, значит $t < -1$ или $t > \dfrac{1}{2}$ .

Возвращаемся к синусу

Вернемся к исходной переменной, не забывая про $|t|\leqslant 1$ :

$\sin x < -1$ . Это неравенство не имеет решений, так как синус ограничен снизу минус единицей (вот зачем мы держали в голове $|t|\leqslant 1$ ).
$\sin x > \dfrac{1}{2}$ .

Записываем ответ по окружности

Нарисуем тригонометрическую окружность, проведем прямую $y = \dfrac{1}{2}$ и выделим верхнюю дугу. Точки пересечения: $\dfrac{\pi}{6}$ и $\dfrac{5\pi}{6}$ . Обходим против часовой стрелки от меньшего к большему. Неравенство строгое ( $>$ ), поэтому в точках $x=\tfrac{\pi}{6}$ и $x=\tfrac{5\pi}{6}$ имеем $\sin x = \tfrac12$ — это не удовлетворяет $\sin x > \tfrac12$ , значит концы выколоты (круглые скобки).

Ответ: $x \in \left( \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n;\, \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n \right), \quad n \in \ZZ$ .

Следующий пример демонстрирует классический сюжет ДВИ, где требуется скомбинировать формулы двойного угла и метод вспомогательного угла.

Пример 2. Разложение на множители и вспомогательный угол

Реши неравенство $\sin x + \cos x + \sqrt{2}\cos 2x \leqslant 0$ .

Раскладываем на множители

Распишем $\cos 2x$ как $\cos^2 x - \sin^2 x$ и разложим как разность квадратов:

\sin x + \cos x + \sqrt{2}(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) \leqslant 0

Вынесем общий множитель $(\sin x + \cos x)$ за скобки:

(\sin x + \cos x)\left( 1 + \sqrt{2}\cos x - \sqrt{2}\sin x \right) \leqslant 0

Применяем вспомогательный угол

Применим метод вспомогательного угла к обеим скобкам:

$\sin x + \cos x = \sqrt{2}\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos x \right) = \sqrt{2}\sin\left( x + \dfrac{\pi}{4} \right)$ .
$\sqrt{2}\cos x - \sqrt{2}\sin x = \sqrt{2^2 + 2^2}\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos x - \dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin x \right) = 2\cos\left( x + \dfrac{\pi}{4} \right)$ .

Подставим это обратно в неравенство:

\sqrt{2}\sin\left( x + \dfrac{\pi}{4} \right) \cdot \left( 1 + 2\cos\left( x + \dfrac{\pi}{4} \right) \right) \leqslant 0

Сделаем замену $t = x + \dfrac{\pi}{4}$ . Неравенство примет вид (разделив на положительное $2\sqrt{2}$ , что не меняет знак):

\sin t \cdot \left( \cos t + \dfrac{1}{2} \right) \leqslant 0

Метод интервалов на окружности

Решим методом интервалов на окружности. Нули множителей за один период $[0; 2\pi)$ :

$\sin t = 0$ при $t = 0$ и $t = \pi$ ;
$\cos t = -\dfrac12$ при $t = \dfrac{2\pi}{3}$ и $t = \dfrac{4\pi}{3}$ .

Эти четыре точки делят окружность на дуги. Определим знак произведения $P(t)=\sin t\,(\cos t + \tfrac12)$ на каждой, подставив пробную точку:

Дуга	пробная $t$	$\sin t$	$\cos t + \tfrac12$	знак $P$
$(0;\, \tfrac{2\pi}{3})$	$\tfrac{\pi}{2}$	$+$	$+$	$+$
$(\tfrac{2\pi}{3};\, \pi)$	$\tfrac{5\pi}{6}$	$+$	$-$	$-$
$(\pi;\, \tfrac{4\pi}{3})$	$\tfrac{7\pi}{6}$	$-$	$-$	$+$
$(\tfrac{4\pi}{3};\, 2\pi)$	$\tfrac{3\pi}{2}$	$-$	$+$	$-$

Нам нужно $P(t) \leqslant 0$ , то есть дуги со знаком « $-$ »: $\left(\dfrac{2\pi}{3};\, \pi\right)$ и $\left(\dfrac{4\pi}{3};\, 2\pi\right)$ .

Проверяем строгость концов

Строгость концов. Неравенство нестрогое ( $\leqslant 0$ ), а в граничных точках произведение равно нулю (там либо $\sin t = 0$ , либо $\cos t = -\tfrac12$ ), что удовлетворяет « $\leqslant 0$ ». Значит все концы дуг включаются — скобки квадратные. ОДЗ здесь нет (ни дробей, ни корней), выкалывать нечего.

Получаем (присоединяя ноль слева ко второй дуге — точка $t=2\pi$ той же серии, что $t=0$ ):

t \in \left[ \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n;\, \pi + 2\pi n \right] \cup \left[ \dfrac{4\pi}{3} + 2\pi n;\, 2\pi + 2\pi n \right]

Возвращаемся к исходной переменной

Возвращаемся к $x$ , подставив $x = t - \dfrac{\pi}{4}$ :

x \in \left[ \dfrac{2\pi}{3} - \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n;\, \pi - \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n \right] \cup \left[ \dfrac{4\pi}{3} - \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n;\, 2\pi - \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n \right]

Вычисляем границы ( $\tfrac{2\pi}{3}-\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{8\pi-3\pi}{12}=\tfrac{5\pi}{12}$ ; $\pi-\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{3\pi}{4}$ ; $\tfrac{4\pi}{3}-\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{16\pi-3\pi}{12}=\tfrac{13\pi}{12}$ ; $2\pi-\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{7\pi}{4}$ ):

Ответ: $x \in \left[ \dfrac{5\pi}{12} + 2\pi n;\, \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi n \right] \cup \left[ \dfrac{13\pi}{12} + 2\pi n;\, \dfrac{7\pi}{4} + 2\pi n \right], \quad n \in \ZZ$ .

СОВЕТ

Сравни с перебором систем

Тот же ответ можно получить «в лоб», расписав $\sin t\,(\cos t+\tfrac12)\leqslant 0$ как совокупность двух систем (множители разных знаков): $\{\sin t\geqslant 0,\ \cos t\leqslant -\tfrac12\}$ и $\{\sin t\leqslant 0,\ \cos t\geqslant -\tfrac12\}$ , и пересекать дуги для каждой. Это работает, но длиннее и легче потерять случай. Метод интервалов на окружности (таблица знаков) — компактнее и менее ошибкоопасен; на ДВИ он же служит обоснованием.

Пример 3. Тригонометрия с жесткой ОДЗ

Реши неравенство $\dfrac{2\cos^2 x - 1}{\sqrt{-\sin x}} \geqslant 0$ .

Выписываем ОДЗ

Начнем с ОДЗ. Подкоренное выражение должно быть строго больше нуля (так как корень в знаменателе):

-\sin x > 0 \iff \sin x < 0

Это нижняя полуплоскость. Запишем интервал: $x \in (-\pi + 2\pi n;\, 0 + 2\pi n)$ . Точки на оси абсцисс ( $\sin x = 0$ ) выколоты — это граница ОДЗ.

Сводим к неравенству для числителя

Так как корень всегда положителен в своей ОДЗ, знак дроби зависит только от числителя:

2\cos^2 x - 1 \geqslant 0 \iff \cos 2x \geqslant 0

(здесь использовано тождество $2\cos^2 x - 1 = \cos 2x$ ).

Решаем простейшее неравенство

Решаем простейшее неравенство для аргумента $2x$ :

-\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k \leqslant 2x \leqslant \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k

-\dfrac{\pi}{4} + \pi k \leqslant x \leqslant \dfrac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \ZZ

Разбираемся со строгостью концов

Строгость концов числителя. В точках $x = \pm\dfrac{\pi}{4} + \pi k$ числитель $2\cos^2 x - 1 = 0$ , поэтому дробь равна $0$ , а неравенство нестрогое ( $\geqslant 0$ ) — выполнено. Значит эти концы включаются (квадратная скобка), при условии что они лежат в ОДЗ. Выколоты будут только концы, идущие от ОДЗ ( $\sin x = 0$ , то есть точки $0$ и $-\pi$ ). Не перепутай: один и тот же отрезок может иметь закрытый конец «по числителю» и открытый «по ОДЗ».

Пересекаем с ОДЗ

Теперь нужно пересечь решение числителя с ОДЗ. Подставим конкретные значения $k$ , чтобы найти дуги в пределах одного полного оборота (берём виток ОДЗ $(-\pi; 0)$ ):

При $k = 0$ : $x \in \left[ -\dfrac{\pi}{4};\, \dfrac{\pi}{4} \right]$ . Пересекаем с интервалом ОДЗ $(-\pi; 0)$ : получаем полуинтервал $\left[ -\dfrac{\pi}{4};\, 0 \right)$ . Левый конец $-\tfrac{\pi}{4}$ закрыт (нуль числителя, в ОДЗ); правый конец $0$ выколот (граница ОДЗ).
При $k = -1$ : $x \in \left[ -\dfrac{5\pi}{4};\, -\dfrac{3\pi}{4} \right]$ . Пересекаем с ОДЗ $(-\pi; 0)$ : получаем $\left( -\pi;\, -\dfrac{3\pi}{4} \right]$ . Левый конец $-\pi$ выколот (граница ОДЗ); правый конец $-\tfrac{3\pi}{4}$ закрыт (нуль числителя, в ОДЗ).

Обе дуги повторяются с периодом $2\pi n$ .

Ответ: $x \in \left( -\pi + 2\pi n;\, -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi n \right] \cup \left[ -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi n;\, 2\pi n \right), \quad n \in \ZZ$ .

Пример 4. Неравенство с тангенсом (период

\pi

, выколотые асимптоты)

Реши неравенство $\tg x \geqslant \sqrt{3}$ .

Пример 5. Неравенство как этап отбора корней

Реши уравнение $\cos x = -\dfrac{1}{2}$ при условии $\sin x > 0$ .

Понимаем сюжет задачи

Это типичный для ДВИ сюжет: тригонометрическое неравенство работает не как самостоятельная задача, а как фильтр для корней уравнения (так возникает «отбор корней», заявленный во вступлении). Сначала решаем уравнение, потом неравенством-условием отсеиваем лишние серии.

Решаем уравнение

Шаг 1. Решаем уравнение. $\cos x = -\dfrac{1}{2}$ даёт две серии:

x = \pm\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \ZZ,

то есть $x = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n$ и $x = -\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n$ .

Отбираем серии по условию

Шаг 2. Применяем условие-неравенство $\sin x > 0$ (верхняя полуплоскость окружности).

Точка $x = \dfrac{2\pi}{3}$ лежит во второй четверти: $\sin\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\sqrt3}{2} > 0$ . Условие выполнено — серия подходит.
Точка $x = -\dfrac{2\pi}{3}$ лежит в третьей четверти: $\sin\!\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right) = -\dfrac{\sqrt3}{2} < 0$ . Условие нарушено — серия отбрасывается.

На окружности это видно сразу: из двух точек с $\cos x = -\tfrac12$ (симметричных относительно оси $Ox$ ) выше оси абсцисс лежит только верхняя.

Ответ: $x = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \ZZ$ .

СОВЕТ

Запасной метод: универсальная подстановка

t=\tg\tfrac{x}{2}

Если в неравенстве намертво смешаны $\sin x$ и $\cos x$ и ни замена, ни вспомогательный угол не разворачивают его в одну функцию, выручает универсальная подстановка:

\sin x = \dfrac{2t}{1+t^2}, \qquad \cos x = \dfrac{1-t^2}{1+t^2}, \qquad t = \tg\dfrac{x}{2}.

Неравенство превращается в рациональное относительно $t$ — решается методом интервалов на прямой. Цена метода: подстановка не «видит» точку $x = \pi + 2\pi k$ (там $\tg\tfrac{x}{2}$ не существует), поэтому эту серию надо проверить отдельной подстановкой в исходное неравенство и при необходимости дописать в ответ. На ДВИ это законный, но «тяжёлый» инструмент — применяй, когда другие не сработали.

Частые ошибки

Что запомнить

Базовые неравенства удобнее всего решать геометрически (рисуй окружность); для нетабличного $a$ границы дуг записывай через $\arcsin a / \arccos a / \arctg a$ .
Интервал дуги записывается от меньшего значения к большему против часовой стрелки.
Для тангенса период $\pi n$ , для синуса и косинуса — $2\pi n$ .
Строгость концов: нестрогое неравенство — границы, где функция $=a$ , включены; строгое — выколоты; точки вне ОДЗ (асимптоты, нули знаменателя) выколоты всегда.
Всегда начинай с ОДЗ, особенно если есть корни, дроби или логарифмы. Пересекай финальный ответ с ОДЗ на единой окружности.
Произведения и частные читай методом интервалов на окружности (таблица знаков на дугах), а не ручным перебором систем.
Выражения вида $a\sin x + b\cos x$ сворачивай в один синус вспомогательного угла; ключевые тождества (двойной угол, понижение степени, приведения) держи в памяти — листа формул на ДВИ нет.

Стратегия на ДВИ

СОВЕТ

Обоснование ответа

Проверяющие на мехмате и ВМК снимают баллы за необоснованные переходы. Если ты переходишь от $\sin t (\cos t + 1/2) \leqslant 0$ к ответу в виде интервалов без пояснений — решение сочтут неполным. Обязательно выписывай знаки множителей (таблица интервалов на окружности либо системы для каждого случая) и рисуй пересечение дуг на тригонометрической окружности. Окружность — твое главное доказательство.

СОВЕТ

Как теряют «

\pm

»: чек-лист под рубрику

ДВИ оценивается по outcomes-рубрике с частичным баллом « $\pm$ ». Полный балл за неравенство получают, когда верны И метод, И все серии, И строгость концов, И ОДЗ. Частичный « $\pm$ » обычно ставят, когда метод верный, но есть локальная потеря. Самые типичные потери балла именно в этой теме:

Потеряна серия/случай — отброшена одна из двух дуг произведения или одна из серий уравнения при отборе (Пример 5).
Перепутан период — $\pi k$ vs $2\pi n$ при пересечении серий с ОДЗ (Пример 3).
Неверная строгость концов — закрыли там, где надо выколоть (граница ОДЗ), или наоборот (нестрогое неравенство, нуль числителя).
Деление на функцию неизвестного знака — вместо переноса влево и разложения на множители.
Домножение на $-1$ без смены знака или забытое ограничение $|t|\leqslant 1$ после замены.
Нет обоснования — ответ записан без окружности/таблицы знаков (для мехмата и ВМК это «решение неполное», даже если число верное).

Перед сдачей пройдись по этому списку — он напрямую конвертируется в баллы.

Оформление под рубрику ДВИ

АЛГОРИТМ

Эталон полного решения (что проверяющий хочет увидеть)

ОДЗ выписано отдельной строкой — до всех преобразований. Если ОДЗ нет, так и пиши: «ОДЗ: $x\in\mathbb{R}$ ».
Каждое преобразование обосновано — какое тождество применено (двойной угол, разложение, вспомогательный угол), почему переход равносильный.
Сведение к базовым неравенствам — явно названы простейшие $\sin/\cos/\tg \gtrless a$ , к которым всё свелось.
Окружность как доказательство — приведён чертёж (или словесно описаны дуги и их знаки); для произведений — таблица знаков по дугам.
Строгость концов проговорена — для каждого граничного значения сказано, включается оно или выколото, и почему (строгость неравенства / ОДЗ).
Пересечение с ОДЗ — финальные дуги пересечены с ОДЗ на одном витке, периоды согласованы.
Ответ с периодом — все серии с правильным периодом ( $2\pi n$ или $\pi n$ ), корректными скобками, $n\in\ZZ$ .

ЧАСТАЯ ОШИБКА

За что снимают «

\pm

» (и как не дать повода)

Верный метод, но потеряна серия или случай → пиши обе ветки произведения, проверяй обе серии уравнения.
Перепутана строгость концов → всегда отдельной фразой объясняй включён/выколот конец.
Несогласованные периоды → пересекай на одном витке, период приписывай в самом конце.
Нет окружности/таблицы знаков → даже верный числовой ответ без обоснования = неполное решение.
ОДЗ не учтено или учтено формально → выколи всё запрещённое явно, покажи это на чертеже.

Проверь себя

Какой период нужно прибавлять к концам интервалов при решении неравенства $\tg x \geqslant \sqrt{3}$ ?
Неравенство $\sin x > \dfrac{1}{2}$ — какие скобки у концов дуги $\dfrac{\pi}{6}$ и $\dfrac{5\pi}{6}$ в ответе?
После замены $t = \sin x$ получилось $t < -1$ или $t > \dfrac{1}{2}$ . Что даёт ветка $t < -1$ ?
Точка — нуль знаменателя дроби в нестрогом неравенстве $\dfrac{f(x)}{g(x)} \geqslant 0$ . Включается ли она в ответ?

Тригонометрические неравенства

Суть темы

Базовые тригонометрические неравенства

Формулы без листа (минимум, который надо помнить)

Основные методы решения

Строгость неравенства: когда конец дуги включён, а когда выколот

Алгоритм решения сложного неравенства

Примеры разбора задач

Сводим к одной функции

Решаем квадратное неравенство

Возвращаемся к синусу

Записываем ответ по окружности

Раскладываем на множители

Применяем вспомогательный угол

Метод интервалов на окружности

Проверяем строгость концов

Возвращаемся к исходной переменной

Выписываем ОДЗ

Сводим к неравенству для числителя

Решаем простейшее неравенство

Разбираемся со строгостью концов

Пересекаем с ОДЗ

Выписываем ОДЗ

Решаем на промежутке непрерывности

Строгость концов и период

Понимаем сюжет задачи

Решаем уравнение

Отбираем серии по условию

Частые ошибки

Что запомнить

Стратегия на ДВИ

Оформление под рубрику ДВИ