Первое задание базовой части — проверка вычислительной культуры. Тебе дают громоздкое числовое или буквенное выражение и просят назвать его значение: во всех 23 задачах банка итог — одно число .
[!] Работа всё равно письменная. У ДВИ нет части с кратким ответом: обе части сдаются с решением, и короткий числовой итог должен быть получен обоснованным ходом. Голое число без выкладок — не ответ, даже если оно верное.
Отличие от ЕГЭ не в темах, а в упаковке. На ЕГЭ выражение обычно уже наполовину свёрнуто, и остаётся сделать один шаг. Здесь оно специально раздуто: пять множителей с разными корнями и дробными показателями, дробь из пятизначных квадратов, корень внутри корня. Калькулятора нет, и «в лоб» задача не считается — точнее, считается, но за время, которого у тебя не будет. Вся работа — увидеть свёртку : формулу сокращённого умножения, полный квадрат под радикалом, сопряжённый множитель.
Итог держится на одном числе, и промежуточную арифметику за тебя никто не пересчитает: прикидка и обратная проверка здесь не роскошь, а часть решения.
СОВЕТ
Формулировка — это условие, а не украшение
Слова «найдите в явном виде целое число» или «натуральное число» — твой контроль. В банке так сформулирована 21 задача из 23, и в каждой ответ действительно целый (от − 15 -15 − 15 770 770 770
Обратное неверно: где сказано просто «найдите значение выражения», целое не обещано. Ровно две такие задачи дают ответы 2 3 2\sqrt{3} 2 3 − 4,9 -4{,}9 − 4 , 9 − 7 -7 − 7 − 15 -15 − 15
Разбор всех 23 задач слота даёт семь сюжетов. Они переплетаются — почти в каждой задаче работают два приёма сразу, — но ведущий виден с первого взгляда.
Степени и радикалы: корни в дробные показатели, приведение к одному основанию — 5 задач из 23 (18587, 18602, 18617, 18658, 18708). Три из них (18587, 18602, 18617) — буквально один сюжет: дана дробь из корней и степеней x x x x 2 x^2 x 2 x 4 x^4 x 4 Формулы сокращённого умножения на числах — 5 задач из 23 (18633, 18651, 18665, 18670, 18683). Разность квадратов — в четырёх, сумма кубов — в одной.Свёртка вложенного радикала p ± q r \sqrt{p \pm q\sqrt{r}} p ± q r (18592, 18607, 18622, 18656). Все построены по одной схеме: подкоренное выражение оказывается полным квадратом, а сами корни — парой сопряжённых.Избавление от иррациональности домножением на сопряжённое — 3 задачи из 23 (18638, 18710, 21001).Арифметика обыкновенных, смешанных и десятичных дробей — 3 задачи из 23 (18685, 18709, 21003). Здесь нет приёма — только аккуратность и общий знаменатель.Оценка числа и целая часть — 2 задачи из 23 (18689, 20997). Просят наибольшее целое, не превосходящее выражение, или наименьшее целое, его превосходящее.Разложение подкоренного числа на простые множители — 1 задача из 23 (20720).
ЗАМЕЧАНИЕ
Чего в слоте нет
Ни тригонометрии, ни производных, ни параметра. Логарифм встретился ровно один раз — и то множителем 2 log 4 3 2^{\log_4 3} 2 l o g 4 3
Листа справочных материалов на ДВИ не выдают. Всё, что ниже, нужно уметь воспроизвести по памяти — и, что важнее, узнать в чужом громоздком выражении.
ВАЖНОЕ
Степени и радикалы
Для x > 0 x > 0 x > 0 a a a b b b
x a ⋅ x b = x a + b , x a x b = x a − b , ( x a ) b = x a b , x m n = x m n . x^a \cdot x^b = x^{a+b}, \qquad \dfrac{x^a}{x^b} = x^{a-b}, \qquad \left(x^a\right)^b = x^{ab}, \qquad \sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}. x a ⋅ x b = x a + b , x b x a = x a − b , ( x a ) b = x ab , n x m = x n m . Разница между ( x a ) b \left(x^a\right)^b ( x a ) b x a ⋅ x b x^a \cdot x^b x a ⋅ x b
В числовых выражениях сначала приводим все основания к одному: 81 = 3 4 81 = 3^4 81 = 3 4 27 = 3 3 27 = 3^3 27 = 3 3 8 = 2 3 8 = 2^3 8 = 2 3 16 = 2 4 16 = 2^4 16 = 2 4 32 = 2 5 32 = 2^5 32 = 2 5 25 = 5 2 25 = 5^2 25 = 5 2 125 = 5 3 125 = 5^3 125 = 5 3
ВАЖНОЕ
Формулы сокращённого умножения
a 2 − b 2 = ( a − b ) ( a + b ) , ( a ± b ) 2 = a 2 ± 2 a b + b 2 , a 3 ± b 3 = ( a ± b ) ( a 2 ∓ a b + b 2 ) . a^2 - b^2 = (a-b)(a+b), \qquad (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2, \qquad a^3 \pm b^3 = (a \pm b)\left(a^2 \mp ab + b^2\right). a 2 − b 2 = ( a − b ) ( a + b ) , ( a ± b ) 2 = a 2 ± 2 ab + b 2 , a 3 ± b 3 = ( a ± b ) ( a 2 ∓ ab + b 2 ) . Признак, что нужна именно ФСУ: большие числа, отличающиеся на единицу или на круглую величину. 2026 2 − 2025 ⋅ 2027 2026^2 - 2025 \cdot 2027 202 6 2 − 2025 ⋅ 2027 a 2 − ( a − 1 ) ( a + 1 ) = a 2 − ( a 2 − 1 ) = 1 a^2 - (a-1)(a+1) = a^2 - \left(a^2-1\right) = 1 a 2 − ( a − 1 ) ( a + 1 ) = a 2 − ( a 2 − 1 ) = 1
ВАЖНОЕ
Свёртка вложенного радикала
Чтобы превратить p ± q r \sqrt{p \pm q\sqrt{r}} p ± q r
p ± q r = ( m ± n ) 2 = ( m + n ) ± 2 m n , то есть m + n = p , m n = ( q 2 ) 2 r . p \pm q\sqrt{r} = \left(\sqrt{m} \pm \sqrt{n}\right)^2 = (m+n) \pm 2\sqrt{mn}, \qquad\text{то есть}\qquad m + n = p, \quad mn = \left(\dfrac{q}{2}\right)^2 r. p ± q r = ( m ± n ) 2 = ( m + n ) ± 2 mn , то есть m + n = p , mn = ( 2 q ) 2 r . Такая пара m m m n n n t 2 − p t + ( q 2 ) 2 r = 0 t^2 - pt + \left(\frac q2\right)^2 r = 0 t 2 − pt + ( 2 q ) 2 r = 0
7 ± 4 3 = ( 2 ± 3 ) 2 , 5 ± 2 6 = ( 3 ± 2 ) 2 , 4 ± 2 3 = ( 3 ± 1 ) 2 , 9 ± 4 2 = ( 2 2 ± 1 ) 2 . 7 \pm 4\sqrt{3} = \left(2 \pm \sqrt{3}\right)^2, \quad 5 \pm 2\sqrt{6} = \left(\sqrt{3} \pm \sqrt{2}\right)^2, \quad 4 \pm 2\sqrt{3} = \left(\sqrt{3} \pm 1\right)^2, \quad 9 \pm 4\sqrt{2} = \left(2\sqrt{2} \pm 1\right)^2. 7 ± 4 3 = ( 2 ± 3 ) 2 , 5 ± 2 6 = ( 3 ± 2 ) 2 , 4 ± 2 3 = ( 3 ± 1 ) 2 , 9 ± 4 2 = ( 2 2 ± 1 ) 2 . Извлекая корень, помни про модуль: t 2 = ∣ t ∣ \sqrt{t^2} = |t| t 2 = ∣ t ∣ ( 3 − 2 ) 2 = 3 − 2 \sqrt{\left(\sqrt3-\sqrt2\right)^2} = \sqrt3-\sqrt2 ( 3 − 2 ) 2 = 3 − 2 3 > 2 \sqrt3 > \sqrt2 3 > 2 2 > 3 2 > \sqrt3 2 > 3 2 2 = 8 > 1 2\sqrt2 = \sqrt8 > 1 2 2 = 8 > 1
ВАЖНОЕ
Сопряжённое: избавление от иррациональности
c a ± b = c ( a ∓ b ) a − b , c a ± k = c ( a ∓ k ) a − k 2 . \dfrac{c}{\sqrt{a} \pm \sqrt{b}} = \dfrac{c\left(\sqrt{a} \mp \sqrt{b}\right)}{a - b}, \qquad \dfrac{c}{\sqrt{a} \pm k} = \dfrac{c\left(\sqrt{a} \mp k\right)}{a - k^2}. a ± b c = a − b c ( a ∓ b ) , a ± k c = a − k 2 c ( a ∓ k ) . Приём работает и «наоборот»: если обе сопряжённые скобки уже стоят в выражении, перемножь их первыми — получится целое a − b a - b a − b
ВАЖНОЕ
Оценка и целая часть
«Наибольшее целое, не превосходящее x x x ⌊ x ⌋ \lfloor x \rfloor ⌊ x ⌋ x x x x x x ⌊ x ⌋ + 1 \lfloor x \rfloor + 1 ⌊ x ⌋ + 1
m 2 < N < ( m + 1 ) 2 ⟹ m < N < m + 1 , m^2 < N < (m+1)^2 \;\Longrightarrow\; m < \sqrt{N} < m+1, m 2 < N < ( m + 1 ) 2 ⟹ m < N < m + 1 , а границы уточняются любой удобной дробью: ( 11 3 ) 2 = 121 9 < 17 < 25 \left(\frac{11}{3}\right)^2 = \frac{121}{9} < 17 < 25 ( 3 11 ) 2 = 9 121 < 17 < 25 11 3 < 17 < 5 \frac{11}{3} < \sqrt{17} < 5 3 11 < 17 < 5
Рядом же живёт корень из квадрата с буквой: x 2 − 6 x + 9 = ( x − 3 ) 2 = ∣ x − 3 ∣ \sqrt{x^2 - 6x + 9} = \sqrt{(x-3)^2} = |x-3| x 2 − 6 x + 9 = ( x − 3 ) 2 = ∣ x − 3∣ x < 3 x < 3 x < 3 3 − x 3-x 3 − x x − 3 x-3 x − 3 2 log 4 3 = 2 1 2 log 2 3 = ( 2 log 2 3 ) 1 2 = 3 2^{\log_4 3} = 2^{\frac12 \log_2 3} = \left(2^{\log_2 3}\right)^{\frac12} = \sqrt3 2 l o g 4 3 = 2 2 1 l o g 2 3 = ( 2 l o g 2 3 ) 2 1 = 3 a log a b = b a^{\log_a b} = b a l o g a b = b log a n b = 1 n log a b \log_{a^n} b = \frac1n \log_a b log a n b = n 1 log a b
Пример 1. Задача 18617
Известно, что h ( x ) = ( x 2 ) 3 4 ⋅ x 4 x 3 h(x)=\dfrac{\left(x^{2}\right)^{\frac{3}{4}}\cdot x^{4}}{\sqrt{x^{3}}} h ( x ) = x 3 ( x 2 ) 4 3 ⋅ x 4 h ( 2 ) h(2) h ( 2 )
Решение x x x Степень степени: ( x 2 ) 3 4 = x 2 ⋅ 3 4 = x 3 2 \left(x^{2}\right)^{\frac34}=x^{2\cdot\frac34}=x^{\frac32} ( x 2 ) 4 3 = x 2 ⋅ 4 3 = x 2 3 x 3 = x 3 2 \sqrt{x^{3}}=x^{\frac32} x 3 = x 2 3
h ( x ) = x 3 2 ⋅ x 4 x 3 2 = x 3 2 + 4 − 3 2 = x 4 . h(x)=\dfrac{x^{\frac32}\cdot x^{4}}{x^{\frac32}}=x^{\frac32+4-\frac32}=x^{4}. h ( x ) = x 2 3 x 2 3 ⋅ x 4 = x 2 3 + 4 − 2 3 = x 4 . Функция оказалась чистой степенью — вся дробь была декорацией.
h ( 2 ) = 2 4 = 16 h(2)=2^{4}=16 h ( 2 ) = 2 4 = 16
Пример 2. Задача 18607
Найдите целое число, заданное выражением 7 − 4 3 + 7 + 4 3 \sqrt{7-4\sqrt{3}}+\sqrt{7+4\sqrt{3}} 7 − 4 3 + 7 + 4 3
Решение Здесь p = 7 p=7 p = 7 q = 4 q=4 q = 4 r = 3 r=3 r = 3 m + n = 7 m+n=7 m + n = 7 m n = ( 4 2 ) 2 ⋅ 3 = 12 mn=\left(\frac42\right)^2\cdot3=12 mn = ( 2 4 ) 2 ⋅ 3 = 12 t 2 − 7 t + 12 = 0 t^2-7t+12=0 t 2 − 7 t + 12 = 0 m = 4 m=4 m = 4 n = 3 n=3 n = 3
7 ± 4 3 = 4 ± 4 3 + 3 = ( 2 ± 3 ) 2 . 7 \pm 4\sqrt{3}=4 \pm 4\sqrt3 + 3=\left(2 \pm \sqrt{3}\right)^{2}. 7 ± 4 3 = 4 ± 4 3 + 3 = ( 2 ± 3 ) 2 . t 2 = ∣ t ∣ \sqrt{t^2}=|t| t 2 = ∣ t ∣ 2 − 3 > 0 2-\sqrt3>0 2 − 3 > 0 2 = 4 > 3 2=\sqrt4>\sqrt3 2 = 4 > 3 7 − 4 3 = 2 − 3 \sqrt{7-4\sqrt3}=2-\sqrt3 7 − 4 3 = 2 − 3 7 + 4 3 = 2 + 3 \sqrt{7+4\sqrt3}=2+\sqrt3 7 + 4 3 = 2 + 3
( 2 − 3 ) + ( 2 + 3 ) = 4 \left(2-\sqrt3\right)+\left(2+\sqrt3\right)=4 ( 2 − 3 ) + ( 2 + 3 ) = 4 S 2 = 14 + 2 49 − 48 = 16 S^{2}=14+2\sqrt{49-48}=16 S 2 = 14 + 2 49 − 48 = 16 S > 0 S>0 S > 0 S = 4 S=4 S = 4
Пример 3. Задача 18670
Найдите в явном виде натуральное число, записанное в виде 58 2 + 26 2 − 42 2 − 10 2 61 2 − 2 ⋅ 61 ⋅ 53 + 53 2 \dfrac{58^2+26^2-42^2-10^2}{61^2-2\cdot61\cdot53+53^2} 6 1 2 − 2 ⋅ 61 ⋅ 53 + 5 3 2 5 8 2 + 2 6 2 − 4 2 2 − 1 0 2
Решение Минусы стоят у 42 2 42^2 4 2 2 10 2 10^2 1 0 2
58 2 − 42 2 = ( 58 − 42 ) ( 58 + 42 ) = 16 ⋅ 100 , 26 2 − 10 2 = ( 26 − 10 ) ( 26 + 10 ) = 16 ⋅ 36. 58^2-42^2=(58-42)(58+42)=16\cdot100, \qquad 26^2-10^2=(26-10)(26+10)=16\cdot36. 5 8 2 − 4 2 2 = ( 58 − 42 ) ( 58 + 42 ) = 16 ⋅ 100 , 2 6 2 − 1 0 2 = ( 26 − 10 ) ( 26 + 10 ) = 16 ⋅ 36. Общий множитель 16 16 16 16 ( 100 + 36 ) = 2176 16(100+36)=2176 16 ( 100 + 36 ) = 2176
61 2 − 2 ⋅ 61 ⋅ 53 + 53 2 = ( 61 − 53 ) 2 = 64 61^2-2\cdot61\cdot53+53^2=(61-53)^2=64 6 1 2 − 2 ⋅ 61 ⋅ 53 + 5 3 2 = ( 61 − 53 ) 2 = 64
2176 64 = 34 \dfrac{2176}{64}=34 64 2176 = 34
Пример 4. Задача 18638
Найдите в явном виде целое число, записанное выражением ( 12 1 + 7 − 8 5 + 1 ) ( 5 + 7 ) \left(\dfrac{12}{1 + \sqrt{7}} - \dfrac{8}{\sqrt{5} + 1}\right)\left(\sqrt{5} + \sqrt{7}\right) ( 1 + 7 12 − 5 + 1 8 ) ( 5 + 7 )
Решение 12 1 + 7 = 12 ( 7 − 1 ) 7 − 1 = 2 7 − 2 , 8 5 + 1 = 8 ( 5 − 1 ) 5 − 1 = 2 5 − 2. \dfrac{12}{1+\sqrt7}=\dfrac{12\left(\sqrt7-1\right)}{7-1}=2\sqrt7-2, \qquad \dfrac{8}{\sqrt5+1}=\dfrac{8\left(\sqrt5-1\right)}{5-1}=2\sqrt5-2. 1 + 7 12 = 7 − 1 12 ( 7 − 1 ) = 2 7 − 2 , 5 + 1 8 = 5 − 1 8 ( 5 − 1 ) = 2 5 − 2. ( 2 7 − 2 ) − ( 2 5 − 2 ) = 2 ( 7 − 5 ) \left(2\sqrt7-2\right)-\left(2\sqrt5-2\right)=2\left(\sqrt7-\sqrt5\right) ( 2 7 − 2 ) − ( 2 5 − 2 ) = 2 ( 7 − 5 ) сопряжённая второму множителю.
2 ( 7 − 5 ) ( 7 + 5 ) = 2 ( 7 − 5 ) = 4. 2\left(\sqrt7-\sqrt5\right)\left(\sqrt7+\sqrt5\right)=2(7-5)=4. 2 ( 7 − 5 ) ( 7 + 5 ) = 2 ( 7 − 5 ) = 4. Пример 5. Задача 18689
Определите максимальное целое число, не превосходящее число 17 + 3 17 − 3 \dfrac{\sqrt{17}+3}{\sqrt{17}-3} 17 − 3 17 + 3
Решение Домножаем на сопряжённое 17 + 3 \sqrt{17}+3 17 + 3
17 + 3 17 − 3 = ( 17 + 3 ) 2 17 − 9 = 26 + 6 17 8 = 13 + 3 17 4 . \dfrac{\sqrt{17}+3}{\sqrt{17}-3}=\dfrac{\left(\sqrt{17}+3\right)^2}{17-9}=\dfrac{26+6\sqrt{17}}{8}=\dfrac{13+3\sqrt{17}}{4}. 17 − 3 17 + 3 = 17 − 9 ( 17 + 3 ) 2 = 8 26 + 6 17 = 4 13 + 3 17 . Нужны границы, между которыми лежит ровно одно целое. Так как ( 11 3 ) 2 = 121 9 < 17 < 25 = 5 2 \left(\frac{11}{3}\right)^2=\frac{121}{9}<17<25=5^2 ( 3 11 ) 2 = 9 121 < 17 < 25 = 5 2 11 3 < 17 < 5 \frac{11}{3}<\sqrt{17}<5 3 11 < 17 < 5
13 + 11 < 13 + 3 17 < 13 + 15 ⟹ 6 < 13 + 3 17 4 < 7. 13+11 < 13+3\sqrt{17} < 13+15 \quad\Longrightarrow\quad 6 < \dfrac{13+3\sqrt{17}}{4} < 7. 13 + 11 < 13 + 3 17 < 13 + 15 ⟹ 6 < 4 13 + 3 17 < 7. Само число лежит строго между 6 6 6 7 7 7 6 6 6
ЧАСТАЯ ОШИБКА
Корень снят без модуля
Ошибка: свернув 7 − 4 3 7-4\sqrt3 7 − 4 3 ( 2 − 3 ) 2 \left(2-\sqrt3\right)^2 ( 2 − 3 ) 2 7 − 4 3 = 3 − 2 \sqrt{7-4\sqrt3}=\sqrt3-2 7 − 4 3 = 3 − 2 Правильно: t 2 = ∣ t ∣ \sqrt{t^2}=|t| t 2 = ∣ t ∣ x 2 − 6 x + 9 = ∣ x − 3 ∣ \sqrt{x^2-6x+9}=|x-3| x 2 − 6 x + 9 = ∣ x − 3∣ x = 3 + 1 2 < 3 x=\sqrt3+\frac12<3 x = 3 + 2 1 < 3 5 2 − 3 \frac52-\sqrt3 2 5 − 3 3 − 5 2 \sqrt3-\frac52 3 − 2 5
ЧАСТАЯ ОШИБКА
Показатели: сложил там, где надо было умножить
Ошибка: ( x 2 ) 3 4 = x 2 + 3 4 = x 11 4 \left(x^{2}\right)^{\frac34}=x^{2+\frac34}=x^{\frac{11}{4}} ( x 2 ) 4 3 = x 2 + 4 3 = x 4 11 Правильно: в степени степени показатели умножаются : ( x 2 ) 3 4 = x 3 2 \left(x^{2}\right)^{\frac34}=x^{\frac32} ( x 2 ) 4 3 = x 2 3 x 2 ⋅ x 3 4 = x 11 4 x^{2}\cdot x^{\frac34}=x^{\frac{11}{4}} x 2 ⋅ x 4 3 = x 4 11
ЧАСТАЯ ОШИБКА
Считать то, что сворачивается
Ошибка: честно возводить 185 2 185^2 18 5 2 104 2 104^2 10 4 2 2025 ⋅ 2027 2025\cdot2027 2025 ⋅ 2027 ( 12,5 ) 3 \left(12{,}5\right)^3 ( 12 , 5 ) 3 Правильно: большие числа в квадратах и кубах на ДВИ почти всегда стоят под ФСУ. 185 2 − 104 2 = 81 ⋅ 289 185^2-104^2=81\cdot289 18 5 2 − 10 4 2 = 81 ⋅ 289 9 ⋅ 17 = 153 9\cdot17=153 9 ⋅ 17 = 153 a 3 + b 3 a + b = a 2 − a b + b 2 \frac{a^3+b^3}{a+b}=a^2-ab+b^2 a + b a 3 + b 3 = a 2 − ab + b 2 − a b = − 15 -ab=-15 − ab = − 15
ЧАСТАЯ ОШИБКА
Округление по дороге
Ошибка: перевести 1 13 37 1\frac{13}{37} 1 37 13 1,35 1{,}35 1 , 35 Правильно: 50 37 \frac{50}{37} 37 50 1 1 1 3 1 8 = 25 8 3\frac18=\frac{25}{8} 3 8 1 = 8 25 1,842 = 921 500 1{,}842=\frac{921}{500} 1 , 842 = 500 921
ЧАСТАЯ ОШИБКА
Испуг перед знаком и видом ответа
Ошибка: получить − 7 -7 − 7 Правильно: «целое» не значит «положительное» — в банке есть ответы − 7 -7 − 7 − 15 -15 − 15 2 3 2\sqrt3 2 3
Проверь себя
Чему равно 9 − 4 2 \sqrt{9-4\sqrt{2}} 9 − 4 2 ? 2 2 − 1 2\sqrt{2}-1 2 2 − 1 1 − 2 2 1-2\sqrt{2} 1 − 2 2 3 − 2 2 3-2\sqrt{2} 3 − 2 2 Чему равно ( x 2 ) 3 4 \left(x^{2}\right)^{\frac{3}{4}} ( x 2 ) 4 3 при x > 0 x>0 x > 0 ? x 3 2 x^{\frac{3}{2}} x 2 3 x 11 4 x^{\frac{11}{4}} x 4 11 x 8 3 x^{\frac{8}{3}} x 3 8 В условии сказано «найдите в явном виде целое число», а у тебя вышло 17 4 \dfrac{17}{4} 4 17 . Что это значит? Надо округлить до 4 4 4 Так и запишем: 4,25 4{,}25 4 , 25 Где-то ошибка в вычислениях — надо пересчитать Чему равно наименьшее целое число, превосходящее 5 2 \dfrac{5}{2} 2 5 ?