Системы уравнений

Вводим замену

Система симметрична относительно перестановки $x$ и $y$. Введём замену $u = x+y$, $v = xy$. Выразим сумму квадратов: $x^2 + y^2 = u^2 - 2v$. Перепишем систему в новых переменных:

Находим u

Подставим $v = 6$ в первое уравнение:

Корни этого квадратного уравнения: $u_1 = -6$, $u_2 = 5$. Получаем две простейшие системы для $x$ и $y$.

Случай 1: u = 5

Проверяем действительность: $u^2 - 4v = 25 - 24 = 1 \geqslant 0$ — корни действительны. Числа $x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$. Корни: $t_1 = 2$, $t_2 = 3$. Пары решений: $(2;\, 3)$ и $(3;\, 2)$.

Случай 2: u = -6

Проверяем действительность: $u^2 - 4v = 36 - 24 = 12 \geqslant 0$ — корни действительны. Числа $x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^2 + 6t + 6 = 0$. Дискриминант: $\dfrac{D}{4} = 9 - 6 = 3$. Корни: $t = -3 \pm \sqrt{3}$. Пары решений: $(-3+\sqrt{3};\, -3-\sqrt{3})$ и $(-3-\sqrt{3};\, -3+\sqrt{3})$.

ОДЗ

Во втором уравнении есть корень, поэтому сразу выписываем условие подкоренного выражения:

Все найденные решения обязаны ему удовлетворять.

Первое уравнение как квадратное по x

Рассмотрим первое уравнение как квадратное относительно $x$. Сгруппируем слагаемые с $x^2$, $x$ и свободные члены (всё, что зависит только от $y$):

Вычислим четверть дискриминанта:

Оценка дискриминанта

Чтобы уравнение имело действительные корни $x$, дискриминант должен быть неотрицательным: $D \geqslant 0$. Но $-(y - 2)^2 \leqslant 0$ при любых $y$. Следовательно, единственный возможный случай — это $-(y - 2)^2 = 0$, откуда $y = 2$. При $y = 2$ дискриминант равен нулю, и $x$ находится однозначно:

Находим z

Подставим найденные $x = 3$ и $y = 2$ во второе уравнение (с учётом уже выписанного ОДЗ $z \geqslant x$):

Найденное $z = 4$ удовлетворяет ОДЗ: $z = 4 \geqslant x = 3$.

Складываем уравнения

Сложим все три уравнения:

Раскроем квадраты:

Заметим слева формулу квадрата суммы трёх слагаемых:

Раскладываем на разности квадратов

Разложим левые части исходной системы по формуле разности квадратов:

Система распадается на два случая.

Случай 1: сумма = 4

$x+y+z = 4$. Подставим это значение в систему:

Сложим (1) и (2): $2y = 2 \implies y = 1$. Сложим (2) и (3): $2z = 1 \implies z = 0{,}5$. Сложим (1) и (3): $2x = 5 \implies x = 2{,}5$.

Случай 2: сумма = -4

$x+y+z = -4$.

Решая аналогично, получаем противоположные значения: $x = -2{,}5$, $y = -1$, $z = -0{,}5$.

Случай y = 0

Первое уравнение однородное (все слагаемые имеют суммарную степень 2). Действуем по схеме «сначала $y=0$, потом деление». Подставим во второе уравнение: $x \cdot 0 = 6$, то есть $0 = 6$ — противоречие. Значит, $y = 0$ решений не даёт, и далее можно считать $y \neq 0$.

Деление на y^2

При $y \neq 0$ разделим первое уравнение на $y^2$ и обозначим $t = \dfrac{x}{y}$:

Получаем две связи: $x = 2y$ или $x = 3y$.

Подслучай x = 2y

Подставим во второе уравнение: $2y \cdot y = 6 \iff y^2 = 3 \iff y = \pm\sqrt{3}$. Тогда $x = 2y = \pm 2\sqrt{3}$. Пары: $(2\sqrt{3};\, \sqrt{3})$ и $(-2\sqrt{3};\, -\sqrt{3})$.

Подслучай x = 3y

Подставим: $3y \cdot y = 6 \iff y^2 = 2 \iff y = \pm\sqrt{2}$. Тогда $x = 3y = \pm 3\sqrt{2}$. Пары: $(3\sqrt{2};\, \sqrt{2})$ и $(-3\sqrt{2};\, -\sqrt{2})$.

Замена и тождество для кубов

Система симметрична. Введём $u = x + y$, $v = xy$. Из первого уравнения $u = 3$. Используем тождество (вывод: $x^3+y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y) = u^3 - 3uv = u(u^2 - 3v)$):

Находим v и корни

Подставим $u = 3$:

Проверяем действительность: $u^2 - 4v = 9 - 8 = 1 \geqslant 0$ — корни действительны. Числа $x, y$ — корни уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$, откуда $t_1 = 1$, $t_2 = 2$.

Замена

Введём замену $p = 2^x > 0$, $q = 2^y > 0$ (положительность — часть условия!). Из второго уравнения: $x + y = 3 \implies 2^{x+y} = 2^3$, то есть $p\cdot q = 2^x \cdot 2^y = 2^{x+y} = 8$. Получаем симметрическую систему для $p, q$:

Решаем и возвращаемся к x, y

Проверяем действительность и положительность: $p, q$ — корни $t^2 - 6t + 8 = 0$, то есть $t = 2$ и $t = 4$. Оба корня положительны — замена допустима. Случай 1: $p = 2,\ q = 4$, то есть $2^x = 2 \implies x = 1$ и $2^y = 4 \implies y = 2$. Случай 2: $p = 4,\ q = 2$, то есть $x = 2,\ y = 1$. Оба случая дают $x + y = 3$ — согласовано со вторым уравнением.

ОДЗ

Логарифмы определены при $x > 0$ и $y > 0$. Выписываем это до преобразований.

Сворачиваем логарифмы

Свернём левую часть первого уравнения по свойству суммы логарифмов (оно справедливо как раз на ОДЗ, где аргументы положительны):

Получаем алгебраическую систему:

Числа $x, y$ — корни уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$, то есть $t_1 = 2$, $t_2 = 3$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x>0$, $y>0$).

Выражаем через одну переменную

Из первого уравнения $y = \dfrac{\pi}{2} - x$, поэтому $\sin y = \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$. Подставим во второе уравнение и применим формулу двойного угла:

Решаем простейшее уравнение

Отсюда

а $y = \dfrac{\pi}{2} - x$ восстанавливается из первого уравнения. Проверка одной пары: при $x = \dfrac{\pi}{12}$ имеем $y = \dfrac{5\pi}{12}$ и $\sin\dfrac{\pi}{12}\sin\dfrac{5\pi}{12} = \dfrac{1}{4}$ — верно.

ОДЗ

$x \geqslant 0$, $y \geqslant 0$ (выписываем до возведения в квадрат).

Замена радикалов

Введём замену $u = \sqrt{x} \geqslant 0$, $v = \sqrt{y} \geqslant 0$. Тогда $x = u^2$, $y = v^2$, и система превращается в симметрическую относительно $u, v$:

Выразим $u^2 + v^2 = (u+v)^2 - 2uv = 25 - 2uv = 13$, откуда $uv = 6$. Получаем

Числа $u, v$ — корни $t^2 - 5t + 6 = 0$, то есть $t = 2$ и $t = 3$. Оба значения неотрицательны — допустимы для замены.

Возврат к x, y

Случай 1: $u = 2,\ v = 3 \implies x = u^2 = 4,\ y = v^2 = 9$. Случай 2: $u = 3,\ v = 2 \implies x = 9,\ y = 4$.

Финальная проверка

Обязательна после возведения в квадрат: для $(4;9)$: $\sqrt{4}+\sqrt{9} = 2+3 = 5$ и $4+9 = 13$ — верно. Для $(9;4)$ — симметрично, тоже верно. Посторонних корней нет.

Идея и параметризация

При фиксированной сумме $x + y = 2$ выражение $x^4 + y^4$ минимально, когда $x$ и $y$ равны, и тогда равно ровно 2. Покажем это строго. Пусть $x = 1 + s$, $y = 1 - s$ (это удовлетворяет $x + y = 2$ при любом $s$). Тогда

Оценка и вывод

Раскроем по биному и сложим (нечётные степени $s$ сократятся):

Значит,

причём равенство достигается только при $s = 0$ (так как $12 s^2 + 2 s^4 \geqslant 0$ и обращается в ноль лишь при $s = 0$). По условию $x^4 + y^4 = 2$, поэтому $s = 0$, то есть $x = y = 1$.

Геометрический смысл

Первое уравнение — окружность с центром $O(0;0)$ и радиусом $R = 2$. Второе — прямая $y = x + a$ с фиксированным наклоном и параметром $a$ (сдвиг по вертикали). Система имеет ровно одно решение $\iff$ прямая касается окружности. Прямая касается окружности $\iff$ расстояние от центра до прямой равно радиусу. Запишем прямую в виде $x - y + a = 0$ и найдём расстояние от $O(0;0)$:

Условие касания $d = R$:

Контроль через дискриминант

Подставим $y = x + a$ в окружность:

Единственное решение $\iff D = 0$:

Оба способа дали один ответ.